Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，，AB>CD，AD=AB+CD.

(1)利用尺规作ADC的平分线DE，交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接AE，EF(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)的条件下，证明：EC=EF；AE⊥DE

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；证明见解析.

【解析】

（1）根据角平分线画法作图即可；（2）①利用条件证得△CDE≌△FDE即可；②先证得Rt△AFE≌Rt△ABE，然后利用等角代换与平行线证明与性质，即可得证

(1)如图所示；

(2)证明：∵DE评分∠ADC

∴∠1=∠2

∵AD=AB+CD，AF=AB

∴DF=CD

在△CDE和△DEF中

∴△CDE≌△FDE

∴CE=EF

∵△CDE≌△FDE

∴∠C=∠3=90°

∴∠4=90°

∴∠4=∠B=∠ADB

在Rt△AFE和Rt△ABE中

∴Rt△AFE≌Rt△ABE

∴∠5=∠6=∠BAD

∵∠C=∠B=90°

∴∠C+∠B=180°

∴DC∥AB

∴∠BAD+∠ADB=180°

∴∠2+∠5=90°

∴∠DEB=90°

∴AE⊥DE