Question

6．已知x²-4x+1=0，求x⁴-x^-4的值．

Answer 1

分析 先把方程两边除以x可得x+$\frac{1}{x}$=4，再利用完全平方公式可计算出x-$\frac{1}{x}$=±$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}-4}$=±2$\sqrt{3}$，则根据平方差公式可计算出x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$=±8$\sqrt{3}$，接着根据完全平方公式计算x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2=14，然后根据平方差公式得到x⁴-x^-4=x⁴-$\frac{1}{{x}^{4}}$=（x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$），再利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵x²-4x+1=0，
∴x-4+$\frac{1}{x}$=0，即x+$\frac{1}{x}$=4，
∴x-$\frac{1}{x}$=±$\sqrt{（x-\frac{1}{x}）^{2}}$=±$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}-4}$=±$\sqrt{{4}^{2}-4}$=±2$\sqrt{3}$，
∴x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）（x-$\frac{1}{x}$）=±8$\sqrt{3}$，
∵x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2=4²-2=14，
∴x⁴-x^-4=x⁴-$\frac{1}{{x}^{4}}$=（x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=±8$\sqrt{3}$×14=±112$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．本题的关键是熟练掌握完全平方公式．