Question

如图1，将在Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC相交于点F，则有∠BFE=90°，且四边形ACFD是一个正方形．
（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；
（2）如图2，用含b的代数式表示四边形ABFE的面积．

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：（1）根据旋转的性质得∠BAE=90°，AB=AE，于是可判断△ABE为等腰直角三角形；
（2）先根据旋转的性质得到∠ADE=∠ACB=90°，∠CAD=90°，AC=AD=b，BC=DE=a，则可证明四边形ACFD为边长为a的正方形，所以CF=DF=b，EF=DF-DE=b-a，然后利用四边形ABFE的面积=S_△ABC+S_梯形ACFE进行计算．

解答：解：（1）△ABE为等腰直角三角形．理由如下：
∵Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，
∴∠BAE=90°，AB=AE，
∴△ABE为等腰直角三角形；
（2）∵Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，
∴∠ADE=∠ACB=90°，∠CAD=90°，AC=AD=b，BC=DE=a，
∴四边形ACFD为边长为a的正方形，
∴CF=DF=b，
∴EF=DF-DE=b-a，
∴四边形ABFE的面积=S_△ABC+S_梯形ACFE
=

1

2

ab+

1

2

•（b-a+b）•b
=b²．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和等腰直角三角形的判定．