Question

我们知道：sin30°=

1

2

，cos30°=

3

2

，可得sin²30°+cos²30°=

1

4

+

3

4

=1，那么对于任意的锐角A，是否都有sin²A+cos²A=1呢？
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，可得sinA=

a

c

，cosA=

b

c

，证明sin²A+cos²A=1．
（2）若已知sinA=

2

3

，利用（1）的结论求cosA的值．
（3）用以上探究的方法你能得出sinA，cosA，tanA三者之间的关系吗？请直接写出答案．

Answer 1

考点：同角三角函数的关系

专题：

分析：（1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明；
（2）将sinA=

2

3

代入sin²A+cos²A=1即可求出cosA的值；
（3）根据三角函数的定义即可得出sinA，cosA，tanA三者之间的关系．

解答：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a²+b²=c²．
又∵sinA=

a

c

，cosA=

b

c

，
∴sin²A+cos²A=（

a

c

）²+（

b

c

）²=

a2+b2

c2

=1；

（2）解：∵sin²A+cos²A=1，sinA=

2

3

，
∴cos²A=1-（

2

3

）²=

5

9

，
∴cosA=

5

3

；

（3）解：∵sinA=

a

c

，cosA=

b

c

，tanA=

a

b

，
∴cosA•tanA=

b

c

•

a

b

=

a

c

=sinA，
即sinA=cosA•tanA．

点评：本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键．