Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1，0)．B(5，0)两点，与y轴交于点C．

(1)求此物线的解析式；

(2)在此物线的对称轴上找一点M．使得MA+MC最小，请求出点M的坐标；

(3)在直线BC下方抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣5；（2）M(2，﹣3)；（3）存在，点P的坐标为(，)

【解析】

(1)把A(﹣1，0)、B(5，0)代入抛物线y＝ax2+bx﹣5求出a、b的值即可确定抛物线的关系式；

(2)由对称可得，直线BC与对称轴的交点就是所求的点M，求出直线BC的关系式和对称轴方程，求出交点坐标即可；

(3)向下平移直线BC与抛物线有唯一公共点时，这个公共点就是要求的点M，于是利用平移后的直线关系式与抛物线关系式联立，使其只有一个解时即可．

解：(1)把A(﹣1，0)、B(5，0)代入抛物线y＝ax2+bx﹣5得，

，

解得，a＝1，b＝﹣4，

∴抛物线的关系式为y＝x2﹣4x﹣5，

故答案为：y＝x2﹣4x﹣5；

(2)当x＝0时，y＝﹣5，

∴点C(0，﹣5)

设直线BC的关系式为y＝kx+b，

把点B、C坐标代入得，

，

解得，，

∴直线BC的关系式为y＝x﹣5，

∵抛物线的关系式为y＝x2﹣4x﹣5＝(x﹣2)2﹣9，

∴对称轴为直线x＝2，

由对称可得，直线BC与对称轴x＝2交点就是所求的点M，

当x＝2时，y＝2﹣5＝﹣3，

∴点M(2，﹣3)时，MA+MC最小，

故答案为：M(2，﹣3)；

(3)向下平移直线BC，使平移后的直线与抛物线有唯一公共点P时，此时点P到BC的距离最大，因此△PBC的面积最大，

设将直线BC向下平移后的直线的关系式为y＝x﹣5﹣m，

则方程x2﹣4x﹣5＝x﹣5﹣m，有两个相等的实数根，

即x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，

∴m＝，

当m＝时，方程x2﹣5x+m＝0的解为x＝，

把x＝代入抛物线的关系式得，y＝﹣4×﹣5＝﹣，

∴P(，﹣)

答：在直线BC下方抛物线上存在点P，使得△PBC的面积最大，此时点P的坐标为(，﹣)，

故答案为：P(，﹣)．