【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线
与
轴、
轴分别相交于
、
两点,点
是
的中点,点
、
分别为线段
、
上的动点,将
沿
折叠,使点
的对称点
恰好落在线段
上(不与端点重合).连接
分别交
、
于点
、
,连接
.
(1)求的值;
(2)试判断与
的位置关系,并加以证明;
(3)若,求点
的坐标.
【答案】(1);(2)
,证明见解析;(3)点
的坐标为
.
【解析】
(1)结合A,B的坐标,在在中,即可求出
的值;
(2)与
的位置关系为
,利用折叠的性质以及
斜边
上的中线定理可证明
,再利用相似三角形的性质进一步证明
,结合三角形内角和定理即可证明结论;
(3)设,则
,
,用含t的式子表示出DN,再由
,得出OD的值,最后利用勾股定理求解即可.
解:(1)由题意得:,
.
在中,
.
(2),理由如下:
由折叠的性质得:.
∵为
斜边
上的中线,
∴,
∴,
∴.
又∵,
∴,
∴,即
,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
(3)∵
∴在中,
,
设,则
,
,
当时,
.
又∵,
,
∴,
∴,
∴.
由得:
,即
,
∴.
在中,由勾股定理得:
,
即,解得:
,
,
∴或0(不合题意,舍去),
∴点.
综上所述,点的坐标为
.
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【题目】如图,二次函数的图像与
轴交于
、
两点,与
轴交于点
,
.点
在函数图像上,
轴,且
,直线
是抛物线的对称轴,
是抛物线的顶点.
(1)求、
的值;
(2)如图①,连接,线段
上的点
关于直线
的对称点
恰好在线段
上,求点
的坐标;
(3)如图②,动点在线段
上,过点
作
轴的垂线分别与
交于点
,与抛物线交于点
.试问:抛物线上是否存在点
,使得
与
的面积相等,且线段
的长度最小?如果存在,求出点
的坐标;如果不存在,说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点B(0,4),等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y=(x>0)的图象上.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)把△OAB沿y轴向上平移a个单位长度,对应得到△O'A'B'.当这个函数的图象经过△O'A'B'一边的中点时,求a的值.
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【题目】从下列4个命题中任取一个:①三点确定一个圆:②平分弦的直径平分弦所对的弧:③弦相等,所对的圆心角相等;④在半径为4的圆中,30°的圆心角所对的弧长为,是真命题的概率是( ).
A.1B.C.
D.
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【题目】定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.如图1,把一张顶角为36的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线.
(1)如图2,请用两种不同的方法画出顶角为45的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数:(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种) .
(2)如图3,△ABC 中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC 的三分线,并求出三分线的长.
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【题目】已知:抛物线.
(1)求证:抛物线与轴有两个交点.
(2)设抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为
,
(其中
).若
是关于
的函数、且
,求这个函数的表达式;
(3)若,将抛物线向上平移一个单位后与
轴交于点
、
.平移后如图所示,过
作直线
,分别交
的正半轴于点
和抛物线于点
,且
.
是线段
上一动点,求
的最小值.
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【题目】已知四边形和四边形
都是正方形,且
.
(1)如图1,连接、
.求证:
;
(2)如图2,如果正方形绕点
旋转到某一位置恰好使得
,
.
①求的度数;
②若正方形的边长是
,请求出
的面积.
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【题目】如图,正方形的边长为2,连接
,点
是线段
延长线上的一个动点,
,点
是
与线段
延长线的交点,当
平分
时,
______
(填“>”“<”或“=”):当
不平分
时,
__________.
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【题目】定义:如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等,我们称这两个方程为“相似方程”,例如,的实数根是3或6,
的实数根是1或2,
,则一元二次方程
与
为相似方程.下列各组方程不是相似方程的是( )
A.与
B.
与
C.与
D.
与
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