Question

13．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在线段BC上（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交AB、AC于点F、G，EG∥BC，连接BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）判断并证明四边形BCGE的形状．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△ADE都是等边三角形，所以AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=∠C=60°，所以∠EAB=∠DAC由此可以对称结论．
（2）欲证明四边形BCGE是平行四边形只要证明EB∥CG，只要证明∠BEF=60°，∠CGE=120°即可．

解答 （1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=∠C=60°，
∴∠EAB=∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，
（2）结论四边形BCGE是平行四边形，
证明：∵△ABE≌△ACD，∠ABC=∠C=60°
∴∠ABE=∠C=60°，
∵EG∥BC，
∴∠EFB=∠ABC=60°，∠C+∠EGC=120°
∴△EFB是等边三角形，∠EGC=120°
∴∠BEF=60°，
∴∠BEF+∠CGE=180°，
∴BE∥CG，
∵EG∥BC，
∴四边形EBCG是平行四边形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键，需要记住平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．