Question

如图，在直角坐标系中，已知直线y=kx+6与x轴相交于点A，与 y轴相交于点 B，且S_△AOB=12，点P（x，y）是线段AB上一动点．
（1）求k的值． 
（2）若△POA是以OA为底边的等腰三角形，求点P的坐标． 
（3）是否存在点P，使直线OP把△AOB的面积分成1：2两部分？若否存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）对于直线解析式，令x=0求出y的值，确定出B坐标，得到OB的长，由直角三角形AOB面积为12，求出OA的长，确定出A坐标，把A坐标代入直线解析式求出k的值，即可；
（2）由（1）求出k的值确定出直线解析式，作出线段OA的垂直平分线，交AB于点P，利用线段垂直平分线定理得到OP=AP，即△POA是以OA为底边的等腰三角形，确定出P横坐标为OA的一半，代入直线解析式即可确定出P坐标；
（3）存在，理由为：如图1所示，当AP=2BP时，直线OP把△AOB的面积分成1：2两部分，即S_△OPA=2S_△OBP，作PQ⊥OA，交OA于点Q，根据两对角相等的三角形相似得到三角形APQ与三角形ABO相似，由相似得比例求出PQ的长，即为P纵坐标，代入直线解析式求出P横坐标，确定出此时P的坐标；如图2所示，当BP=2AP时，直线OP把△AOB的面积分成1：2两部分，即S_△OPB=2S_△OAP，同理求出此时P的坐标即可．

解答：解：（1）直线y=kx+6，令x=0，得到y=6，即B（0，6），OB=6，
∵S_△AOB=

1

2

OA•OB=12，
∴OA=4，即A（4，0），
把A（4，0）代入直线解析式得：0=4k+6，
解得：k=-

3

2

；
（2）由（1）得直线解析式为y=-

3

2

x+6，

作出线段OA的垂直平分线，交AB于点P，
此时OP=AP，即△POA是以OA为底边的等腰三角形，
把x=2代入直线解析式得：y=3，
则P（2，3）；
（3）存在，理由为：

如图1所示，当AP=2BP时，直线OP把△AOB的面积分成1：2两部分，即S_△OPA=2S_△OBP，
作PQ⊥OA，交OA于点Q，
∵∠PQA=∠BOA=90°，∠POQ=∠BAO，
∴△PAQ∽△BAO，
∴

PQ

OB

=

AP

AB

=

2

3

，即PQ=

2

3

OB=4，
把y=4代入直线y=-

3

2

x+6中，得：x=

4

3

，此时P（

4

3

，4）；
如图2所示，当BP=2AP时，直线OP把△AOB的面积分成1：2两部分，即S_△OPB=2S_△OAP，
作PQ⊥OA，交OA于点Q，
∵∠PQA=∠BOA=90°，∠POQ=∠BAO，
∴△PAQ∽△BAO，
∴

PQ

OB

=

AP

AB

=

1

3

，即PQ=

1

3

OB=2，
把y=2代入直线y=-

3

2

x+6中，得：x=3，此时P（3，2），
综上，存在点P，使直线OP把△AOB的面积分成1：2两部分，此时点P的坐标为（

4

3

，4）或（3，2）．

点评：此时属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．