【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,已知点A(-6,0),D(-7,3),点B、C在第二象限内.
(1)点B的坐标 ;
(2)将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒,若存在某一时刻t,使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上,请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式;
(3)在(2)的情况下,问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q,使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出符合题意的点P、Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)();(2)t=9,;(3)点P、Q的坐标为:P(,0)、Q(,4)或P(7,0)、Q(3,2)或P(-7,0)、Q(-3,-2).
【解析】
(1)过点D作DE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF,从而得出DE=AF,AE=BF,再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标;
(2)设反比例函数为,根据平行的性质找出点B′、D′的坐标,再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组,解方程组解得出结论;
(3)假设存在,设点P的坐标为(m,0),点Q的坐标为(n,).分B′D′为对角线或为边考虑,根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组,解方程组即可得出结论.
解:(1)过点D作DE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,如图1所示.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=AB,∠BAD=90°,
∵∠EAD+∠ADE=90°,∠EAD+∠BAF=90°,
∴∠ADE=∠BAF.
在△ADE和△BAF中,有
,
∴△ADE≌△BAF(AAS),
∴DE=AF,AE=BF.
∵点A(-6,0),D(-7,3),
∴DE=3,AE=1,
∴点B的坐标为(-6+3,0+1),即(-3,1).
故答案为:(-3,1).
(2)设反比例函数为,
由题意得:点B′坐标为(-3+t,1),点D′坐标为(-7+t,3),
∵点B′和D′在该比例函数图象上,
∴,
解得:t=9,k=6,
∴反比例函数解析式为.
(3)假设存在,设点P的坐标为(m,0),点Q的坐标为(n,).
以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况:
①B′D′为对角线时,
∵四边形B′PD′Q为平行四边形,
∴,解得:,
∴P(,0),Q(,4);
②当B′D′为边时.
∵四边形PQB′D′为平行四边形,
∴,解得:,
∴P(7,0),Q(3,2);
∵四边形B′QPD′为平行四边形,
∴,解得:.
综上可知:存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q,使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形,符合题意的点P、Q的坐标为:P(,0)、Q(,4)或P(7,0)、Q(3,2)或P(-7,0)、Q(-3,-2).
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【题目】如图,在等边△ABC中,AB=2,N为AB上一点,且AN=1,AD=,∠BAC的平分线交BC于点D,M是AD上的动点,连接BM、MN,则BM+MN的最小值是( )
A. B. 2C. 1D. 3
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【题目】如图所示,在⊙O上有一点C(C不与A、B重合),在直径AB上有一个动点P(P不与A、B重合).试判断PA、PC、PB的大小关系,并说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是
A. BC=AC B. CF⊥BF C. BD=DF D. AC=BF
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【题目】均匀的正四面体的各面依次标有四个数字小明做了60次投掷试验,结果统计如下:
朝下数字 | 1 | 2 | 3 | 4 |
出现的次数 | 16 | 20 | 14 | 10 |
计算上述试验中“4朝下”的频率是多少?
“根据试验结果,投掷一次正四面体,出现2朝下的概率是”的说法正确吗?为什么?
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【题目】如图,抛物线 (a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;
②方程 的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3
⑤当x<0时,y随x增大而增大
其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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