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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,已知点A(-6,0),D(-7,3),点BC在第二象限内.

(1)B的坐标

(2)将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t,若存在某一时刻t,使在第一象限内点BD两点的对应点B′D′正好落在某反比例函数的图象上,请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式;

(3)(2)的情况下,问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q,使得以PQB′D′四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出符合题意的点PQ的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)();(2t=9;(3)点PQ的坐标为:P0)、Q4)或P70)、Q32)或P-70)、Q-3-2).

【解析】

1)过点DDEx轴于点E,过点BBFx轴于点F,由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF,从而得出DE=AFAE=BF,再结合点AD的坐标即可求出点B的坐标;

2)设反比例函数为,根据平行的性质找出点B′、D′的坐标,再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于kt的二元一次方程组,解方程组解得出结论;

3)假设存在,设点P的坐标为(m0),点Q的坐标为(n).分BD′为对角线或为边考虑,根据平行四边形的性质找出关于mn的方程组,解方程组即可得出结论.

解:(1)过点DDEx轴于点E,过点BBFx轴于点F,如图1所示.

∵四边形ABCD为正方形,

AD=AB,∠BAD=90°,

∵∠EAD+ADE=90°,∠EAD+BAF=90°,

∴∠ADE=BAF

在△ADE和△BAF中,有

∴△ADE≌△BAFAAS),

DE=AFAE=BF

∵点A-60),D-73),

DE=3AE=1

∴点B的坐标为(-6+30+1),即(-31).

故答案为:(-31).

2)设反比例函数为

由题意得:点B′坐标为(-3+t1),点D′坐标为(-7+t3),

∵点B′和D′在该比例函数图象上,

解得:t=9k=6

∴反比例函数解析式为

3)假设存在,设点P的坐标为(m0),点Q的坐标为(n).

PQB′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况:

BD′为对角线时,

∵四边形BPDQ为平行四边形,

,解得:

P0),Q4);

②当BD′为边时.

∵四边形PQBD′为平行四边形,

,解得:

P70),Q32);

∵四边形BQPD′为平行四边形,

,解得:

综上可知:存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q,使得以PQB′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形,符合题意的点PQ的坐标为:P0)、Q4)或P70)、Q32)或P-70)、Q-3-2).

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