Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,已知点A(-6,0),D(-7,3)，点B、C在第二象限内．

(1)点B的坐标 ；

(2)将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒,若存在某一时刻t,使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；

(3)在(2)的情况下,问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q,使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）t=9，；（3）点P、Q的坐标为：P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．

【解析】

（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE=AF，AE=BF，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标；

（2）设反比例函数为，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论；

（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论．

解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图1所示．

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°，

∴∠ADE=∠BAF．

在△ADE和△BAF中，有

，

∴△ADE≌△BAF（AAS），

∴DE=AF，AE=BF．

∵点A（-6，0），D（-7，3），

∴DE=3，AE=1，

∴点B的坐标为（-6+3，0+1），即（-3，1）．

故答案为：（-3，1）．

（2）设反比例函数为，

由题意得：点B′坐标为（-3+t，1），点D′坐标为（-7+t，3），

∵点B′和D′在该比例函数图象上，

∴，

解得：t=9，k=6，

∴反比例函数解析式为．

（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．

以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：

①B′D′为对角线时，

∵四边形B′PD′Q为平行四边形，

∴，解得：，

∴P（，0），Q（，4）；

②当B′D′为边时．

∵四边形PQB′D′为平行四边形，

∴，解得：，

∴P（7，0），Q（3，2）；

∵四边形B′QPD′为平行四边形，

∴，解得：．

综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为：P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．