Question

【题目】如图1，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴于点C，且OB：OC＝3：1

（1）求直线BC的解析式；

（2）直线y＝ax﹣a（a≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使S△BDE＝S△BDF？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它的坐标；如果会发生变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝3x+6；（2）存在，a＝；（3）K点的位置不发生变化，K（0，﹣6）

【解析】

（1）首先确定B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（2）由S△BDF＝S△BDE可知只需DF＝DE，即D为EF中点，联立解析式求出E、F两点坐标，利用中点坐标公式列出方程即可解决问题；

（3）过点Q作QC⊥x轴，证明△BOP≌△PCQ，求出AC＝QC，即可推出∠QAC＝∠OAK＝45°，即可解决问题.

解：（1）∵直线y＝﹣x+b与x轴交于A（6，0），

∴0＝﹣6+b，解得：b＝6，

∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+6，

∴B（0，6），

∴OB＝6，

∵OB：OC＝3：1，

∴OC＝2，

∴C（﹣2，0）

设直线BC的解析式是y＝kx+b，

∴，解得，

∴直线BC的解析式是：y＝3x+6；

（2）存在．

理由： ∵S△BDF＝S△BDE，

∴只需DF＝DE，即D为EF中点，

∵点E为直线AB与EF的交点，

联立，解得：，

∴点E（，），

∵点F为直线BC与EF的交点，

联立，解得：，

∴点F（，），

∵D为EF中点，

∴，

∴a＝0（舍去），a＝，

经检验，a＝是原方程的解，

∴存在这样的直线EF，a的值为；

（3）K点的位置不发生变化．

理由：如图2中，过点Q作QC⊥x轴，设PA＝m，

∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°，

∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，

∴∠OPB＝∠PQC，

∵PB＝PQ，

∴△BOP≌△PCQ（AAS），

∴BO＝PC＝6，OP＝CQ＝6+m，

∴AC＝QC＝6+m，

∴∠QAC＝∠OAK＝45°，

∴OA＝OK＝6，

∴K（0，﹣6）．