已知在△ABC中.∠BAC=90°.过点C的直线EF∥AB.D是BC上一点.连接AD.过点D分别作GD⊥AD.HD⊥BC.交EF和AC于点G.H.连接AG．(1)当∠ACB=30°时.如图1所示．①求证:△GCD∽△AHD,②试判断AD与DG之间的数量关系.并说明理由,(2)当tan∠ACB=$\frac{4}{5}$时.如图2所示.请你直接写出AD与DG之间的数量关系� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．已知在△ABC中，∠BAC=90°，过点C的直线EF∥AB，D是BC上一点，连接AD，过点D分别作GD⊥AD，HD⊥BC，交EF和AC于点G，H，连接AG．

（1）当∠ACB=30°时，如图1所示．
①求证：△GCD∽△AHD；
②试判断AD与DG之间的数量关系，并说明理由；
（2）当tan∠ACB=$\frac{4}{5}$时，如图2所示，请你直接写出AD与DG之间的数量关系．

分析（1）①根据平行线的性质得到∠GCM=∠BAC=90°，根据垂直的定义得到∠ADM=90°，于是求得∠GCA=∠ADM，推出∠DAH=∠CGD，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；②根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$，根据tan∠ACB=$\frac{4}{5}$，即可得到结论．

解答（1）①证明：∵∠BAC=90°，EF∥AB，
∴∠GCM=∠BAC=90°，
∵GD⊥AD，
∴∠ADM=90°，
∴∠GCA=∠ADM，
∵∠AMD=∠GMC，
∴∠DAH=∠CGD，
∵∠ADH=∠CDG=90°-∠HDG
∴△GCD∽△AHD；
②解：由①知：△GCD∽△AHD，
∴$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$，
在Rt△DHC中，
∵∠ACB=30°，
$\frac{DH}{CD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（2）5AD=4DG，
解：由①知△GCD∽△AHD，
在Rt△DHC中，
∵tan∠ACB=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$=$\frac{4}{5}$．

点评本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

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19．已知二次三项式x²-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x²-4x+m=（x+3）（x+n）．
即x²-4x+m=x²+（n+3）x+3n．
∴$\left\{\begin{array}{l}{n+3=-4}\\{m=3n}\end{array}\right.$解得，n=-7，m=-21，
∴另一个因式为x-7，m的值为-21．
类似地，二次三项式2x²+3x-k有一个因式是2x-5，则它的另一个因式以及k的值为（　　）

A．

x-1，5

B．

x+4，20

C．

x$+\frac{3}{2}$，$\frac{15}{2}$

D．

x+4，-4

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20．

如图，AB∥CD，且AO=CO．求证：AB=CD．