【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;
(2)在整个运动过程中,问所形成的△PEF是否存在最大面积;如果存在请求出,如果不存在说明理由.
(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10cm2;(3)当t=秒,或t=
秒时,△PEF为直角三角形.
【解析】
(1)如答图1所示,利用菱形的定义证明;
(2)如答图2所示,首先求出△PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;
(3)如答图3所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解.
(1)证明:当t=2时,DH=AH=4,则H为AD的中点,如答图1所示.
又∵EF⊥AD,
∴EF为AD的垂直平分线,
∴AE=DE,AF=DF.
∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴AD⊥BC,∠B=∠C.
∴EF∥BC,
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.
(2)解:如答图2所示,由(1)知EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴ ,即
,解得:EF=10-
,
∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10cm2.
(3)解:存在.理由如下:
①若点E为直角顶点,如答图3①所示,
此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.
∵PE∥AD,
∴ ,
∴t=0(舍),故此种情形不存在;
②若点F为直角顶点,如答图3②所示,
此时PF∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10-3t.
∵PF∥AD,∴,即
,解得t=
;
③若点P为直角顶点,如答图3③所示.
过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.
∵EM∥AD,
∴,
即 ,
解得BM=t,
∴PM=BP-BM=3t-t=
t.
在Rt△EMP中,由勾股定理得:PE2=EM2+PM2=(2t)2+(t)2=
t2.
∵FN∥AD,
∴,
即 ,
解得CN=t,
∴PN=BC-BP-CN=10-3t-t=10-
t.
在Rt△FNP中,由勾股定理得:PF2=FN2+PN2=(2t)2+(10-t)2=
t2-85t+100.
在Rt△PEF中,由勾股定理得:EF2=PE2+PF2,
即:(10-t)2=(
t2)+(
t2-85t+100)
化简得:t2-35t=0,
解得:t=或t=0(舍去)
∴t=.
综上所述,当t=秒或t=
秒时,△PEF为直角三角形.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,将四边形折叠,使点A落在BC边上的点E处,折痕为BF.
(1)求证:四边形ABEF为菱形;
(2)连接AC交EF于点P, 若CD=2CE,S△PCE=2,求PAF的面积.
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【题目】为宣传“扫黑除恶”专项行动,社区准备制作一幅宣传版面,喷绘时为了美观,要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边,已知图案的长为2米,宽为1米,图案面积占整幅宣传版面面积的90%,若设白边的宽为x米,则根据题意可列出方程( )
A. 90%×(2+x)(1+x)=2×1 B. 90%×(2+2x)(1+2x)=2×1
C. 90%×(2﹣2x)(1﹣2x)=2×1 D. (2+2x)(1+2x)=2×1×90%
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B坐标为(﹣1,0),则下面的四个结论,其中正确的个数为( )
①2a+b=0②4a﹣2b+c<0③ac>0④当y>0时,﹣1<x<4
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E是边AD上一点,将△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°到△ADF的位置.已知AF=5,BE=13.
(1)求DE的长度;
(2)BE与DF是否垂直?说明你的理由.
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【题目】如图,已知抛物线与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,CD∥x轴交抛物线于点D,M为抛物线的顶点.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)设动点N(-2,n),求使MN+BN的值最小时n的值;
(3)P是抛物线上一点,请你探究:是否存在点P,使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似,(△PAB与△ABD不重合)?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是_____.
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M是抛物线对称轴上的一个动点,当MC+MA的值最小时,求点M的坐标.
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