Question

【题目】已知：二次函数的图象与x轴交于点A、，顶点为

求该二次函数的解析式；

如图，过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处若点F在这个二次函数的图象上，且是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；

试确定实数p，q的值，使得当时，．

Answer 1

【答案】（1）该二次函数的解析式为；（2）点F的坐标为；（3）满足条件的实数p，q的值为，或，．

【解析】分析：（1）由二次函数y=ax2+bx+c的顶点为C（-1，-2），可设其解析式为y=a（x+1）2-2，再把B（-3，0）代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式；

（2）由二次函数的解析式求出A（1，0）．过点C作CH⊥x轴于点H．解直角△ACH，得出AH=2=CH，那么∠1=45°，AC=2．解等腰直角△DEF得出∠2=45°，EF=4，由∠1=∠2=45°，得到EF∥CH∥y轴．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x-1．设F（m，m2+m-）（其中m＞1），则点E（m，m-1），那么EF=（m2+m-）-（m-1）=m2-=4，解方程求出m，进而得出点F的坐标；

（3）先求出y=时x1=-4，x2=2．再根据二次函数的性质可知，当p≤x≤q时，p≤y≤，应分三种情况讨论：①p≤x≤-1；②p＜-1≤q；③-1≤p＜q．

详解：二次函数的顶点为，

可设该二次函数的解析式为，

把代入，得，

解得，

该二次函数的解析式为；

由，得或1，

．

如图，过点C作轴于点H．

，

，，

又，

，

，．

在等腰直角中，，，

，，

，

轴．

由，可得直线AC的解析式为．

由题意，设其中，则点，

，

，不合题意舍去，

点F的坐标为；

当时，，解得，．

，

当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；

当时，y有最小值．

当时，，

可分三种情况讨论：

当时，由增减性得：

当时，，当时，，不合题意，舍去；

当时，

Ⅰ若，由增减性得：

当时，，当时，，不合题意，舍去；

Ⅱ若，由增减性得：

当时，，当时，，符合题意，

，；

当时，由增减性得：

当时，，当时，，

把，代入，得，

解得，不合题意，舍去，

，．

综上所述，满足条件的实数p，q的值为，或，．