Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使得AE＝AB，联结DE、AC．点F在线段DE上，联结BF，分别交AC、AD于点G、H．

（1）求证：BG＝GF；

（2）如果AC＝2AB，点F是DE的中点，求证：AH2＝GHBH．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD＝AE，AB∥CD，可证四边形ACDE是平行四边形，可得，可得结论；

（2）由“SAS”可证△BEF≌△DEA，可得∠EBF＝∠EDA，通过证明△AHG∽△BHA，可得结论．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵AB＝AE，

∴AE＝CD，

∴四边形ACDE是平行四边形，

∴AC∥DE，

∴，

∴BG＝GF；

（2）∵AB＝AE，

∴BE＝2AE，

∵AC＝2AB，

∴BE＝AC，

∵四边形ACDE是平行四边形，

∴AC＝DE，

∴DE＝BE，

∵点F是DE的中点，

∴DE＝2EF，

∴AE＝EF，

∵DE＝BE，∠E＝∠E，AE＝EF，

∴△BEF≌△DEA（SAS），

∴∠EBF＝∠EDA，

∵AC∥DE，

∴∠GAH＝∠EDA．

∴∠EBF＝∠GAH．

∵∠AHG＝∠BHA，

∴△AHG∽△BHA，

∴．

∴AH2＝GHBH．