Question

1-

1

2

=

1

1×2

，

1

2

-

1

3

=

1

2×3

，

1

3

-

1

4

=

1

3×4

，

1

4

-

1

5

=

1

4×5

，…
（1）请观察上面式子的规律，你猜测出的结论是

 

．（用含n的式子表示，n是正整数）
（2）请对（1）中你得到的结论予以验证．  
（3）计算：

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

x(x+1)

（x为正整数）

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）由式子的规律，猜测出的结论是

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

（n为正整数）；
（2）先通分，再进行分式的加减．
（3）利用上面的规律，将原式分解成分数和的形式，再进行加减即可．

解答：解：（1）猜测出的结论是

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

（n为正整数）；
（2）左边=

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

右边=

1

n(n+1)

左边=右边
所以

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

（n为正整数）；
（3）

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

x(x+1)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

x

-

1

x+1

=

1

2

-

1

x+1

=

x-1

x+1

．

点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．