Question

在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB上一点，连结DC，将DC绕点C顺时针旋转90°，使D点与E点重合，连结DE，探究AD、BD、DE之间的关系并证明．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：AD²+BD²=DE²，由旋转可知∠BCD=∠ACE，再利用已知条件可证明△BCD≌△ACE，所以BD=AE，∠B=∠CAE，因为∠ACB=90°所以∠B+∠BAC=90°，进而证明△DAE是直角三角形，有勾股定理可知AD²+AE²=DE²，继而证明AD²+BD²=DE²．

解答：解：AD²+AE²=DE²，理由如下：
连接AE，
由旋转可知：∠BCD=∠ACE，BC=AC，CD=CE，
在△BCD和△ACE中，

BC=AC ∠BCD=∠ACE CD=CE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠CAE，BD=AE，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAC=90，
∴△DAE是直角三角形，
∴AD²+AE²=DE²．
即AD²+BD²=DE²．

点评：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．