Question

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠BAD=50°，求∠DCB的度数；
（3）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）易证∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）由（1）结论可得∠DCF=∠BCE，即可求得∠DCB=∠FCE，易求∠FCE=130°，即可解题；
（3）易求CF=CE，即可证明RT△ACF≌RT△ACE，可得AF=AE，根据DF=BE，即可求得AE的长，可求得BE的长，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据勾股定理即可求得AC的长，即可解题．

解答：（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，

CE=CF BC=CD

，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；
（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠DCF=∠BCE，
∵∠F=∠AEC=90°，∠BAD=50°，
∴∠FCE=130°，
∵∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠DCE+∠DCF=∠FCE，
即∠DCB=∠FCE=130°．
（3）解：∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CE⊥AE，
∴CF=CE，
在RT△ACF和RT△ACE中，

AC=AC CF=CE

，
∴RT△ACF≌RT△ACE（HL），
∴AF=AE，
∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF=BE，
∴AF+AE=AE+BE+AF-DF=AB+AD=30，
∴AE=15，
∴BE=6，
∵CE=

BC2-BE2

=8，
∴AC=

AE2+CE2

=17．
答：AC的长为17．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△BCE≌Rt△DCF和RT△ACF≌RT△ACE是解题的关键．