Question

如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，过点A的切线与CD的延长线相交于点C，BD的延长线交AC于E，△ACD与△DCE相似吗？为什么？

Answer 1

考点：相似三角形的判定,切线的性质

专题：常规题型

分析：根据切线的性质得BA⊥AC，则∠BAD+∠DAC=90°，再根据圆周角定理得∠B+∠BAD=90°，则∠B=∠DAC，加上∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，易得∠CDE=DAE，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△ACD∽△DCE．

解答：解：△ACD与△DCE相似．理由如下：
∵AC为⊙O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠B=∠DAC，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
而∠ODB=∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
∠而∠ECD=∠DCA，
∴△ACD∽△DCE．

点评：本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆周角定理和切线的性质．