Question

我市某服装厂生产的服装供不应求，A车间接到生产一批西服的紧急任务，要求必须在12天（含12天）内完成．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高，每天生产的西服数量y（套）与时间x（天）的关系如下表：

时间x（天）	1	2	4	7	…
每天产量y（套）	22	24	28	34	…

平均每套西服的成本z（元）与时间x（天）的关系式为：

z=400(1≤x≤5) z=200+40x(6≤x≤12)

请解答下列问题．
（1）求每天生产的西服数量y（套）与x（天）之间的关系式及成本z（元）与x（天）之间的关系式．
（2）已知这批西服的订购价格为每套1570元，设该车间每天的利润为W（元），试求出日利润W（元）与时间x（天）之间的函数关系式，并求出哪一天该车间获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）在实际销售中，从第6天起，该厂决定每销售一套西服就捐赠利润a（元）给希望工程．厂方通过销售记录发现，每天扣除捐赠后的日销售利润 （元）随时间 （天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据每增加1天，产量增加2套判断出y与x是一次函数关系，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；再根据每天的成本等于每天的套数乘以每一套的成本列式整理即可；
（2）根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
（3）根据（2）列出捐赠利润后的销售利润表达式，再根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．

解答：解：（1）设y=kx+b（k≠0），
∵x=1时，y=22，x=2时，y=24，
∴

k+b=22 2k+b=24

，
解得

k=2 b=20

，
所以y=2x+20；
1≤x≤5时，z=400（2x+20）=800x+8000，
6≤x≤12时，z=（200+40x）（2x+20）=80x²+1200x+4000；

（2）1≤x≤5时，W=1570（2x+20）-（800x+8000）=2340x+23400，
∵k=2340＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=5时，W_最大=2340×5+23400=35100，
6≤x≤12时，W=1570（2x+20）-（80x²+1200x+4000）=-80x²+1940x+27400，
对称轴为直线x=-

1940

2×(-80)

=12

1

8

，
∵a=-80＜0，
∴当x=12时，W_最大=-80×12²+1940×12+27400=39160，
∵35100＜39160，
∴12天该车间获得最大利润，最大利润是39160元；

（3）由（2）可知捐赠后的利润W=-80x²+1940x+27400-a（2x+20）=-80x²+（1940-2a）x+27400-20a，
∵扣除捐赠后的日销售利润 （元）随时间 （天）的增大而增大，
∴-

1940-2a

2×(-80)

≥12，
解得a≤10，
所以a的取值范围是0≤a≤10．

点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．