Question

如图所示，△ABP和△CDP是两个全等的等边三角形，且AP⊥PD，有以下四个结论：
①∠PBC=∠PCB=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．
其中正确结论有

 

个．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,轴对称图形

专题：

分析：根据等边三角形和全等三角形的性质得出∠PAB=∠APB=∠PBA=∠PDC=∠PCD=∠DPC=60°，AB=DC，PB=PC，PA=PD，∠APD=90°，再逐个求出即可．

解答：解：延长CP交AB于M，
∵△ABP和△CDP是两个全等的等边三角形，且AP⊥PD，
∴∠PAB=∠APB=∠PBA=∠PDC=∠PCD=∠DPC=60°，AB=DC，PB=PC，PA=PD，∠APD=90°，
∴∠BPC=380°-90°-60°-60°=150°，∠PAD=∠PDA=45°，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=15°，
∴∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD∥BC，
∵∠CMB=180°-15°-15°-60°=90°，
∴CP⊥AB，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴四边形ABCD是轴对称图形，
∴①②③④都正确，
故答案为：4．

点评：本题考查了等腰梯形的性质和判定，平行线的判定，全等三角形的性质，等边三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，综合性比较强，有一定的难度．