Question

如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）连接AE交BD于F，猜想线段BF、EC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：菱形的性质,矩形的判定与性质

专题：

分析：（1）先根据平行四边形的判定定理得出四边形OBEC是平行四边形，再由四边形ABCD是菱形得出AC⊥BD，故可得出结论；
（2）由（1）可知BG=CE，∠B=∠CGB=90°，再由AAS定理得出△AFG≌△EFB，故BF=FG，由此可得出结论．

解答：（1）证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴平行四边形OBEC是矩形；

（2）BF=

1

2

EC．
证明：∵平行四边形OBEC是矩形，
∵BG=CE，∠B=∠CGB=90°，BE=CG，
∴∠AGF=90°．
∵四边形ABCD是菱形．
∴AG=CG，
∴AG=BE．
在△AFG与△EFB中，

AG=BE ∠AGF=∠EBF ∠AFG=∠EFB

，
∴△AFG≌△EFB（AAS），
∴BF=FG=

1

2

BG，
∴BF=

1

2

EC．

点评：本题考查的是菱形的性质及矩形的判定与性质，熟知菱形的对角线互相垂直平分是解答此题的关键．