Question

【题目】在中，为直径，弦，垂足为，且为的中点，连接．

（1）如图1，求的度数．

（2）如图2，连接并延长，交圆于点，连接，求证：

（3）在（2）问的条件下，为弧上的一点，连接，、分别为、上的一点，连接，连接交于点，连接、，若，，，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）4

【解析】

(1) 连接，通过求，推出，从而证出为等边三角形，即可求出；

（2）通过，证出，然后由，即可证出；

（3）延长交圆于点，连接、、，通过圆周角定理证出，通过证明，推出，根据在中，，推出为的中位线，在中，利用勾股定理即可求出CH的长.

（1）连接，

、为圆的半径，

∴.

为的中点，

∴.

，

∴，

∴在中，，

∴，

∴.

，

∴为等边三角形，

∴，.

（2），

∴，

∴在中，，

∴，

∴.

（3）延长交圆于点，连接、、

为圆的直径，

∴，

，

∴.

，

∴.

，，

，

∴.

、为圆的半径,

∴，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴.

，

∴，

∴.

在中，，

∴，

∴为的中位线，

∴，

∵在中，

∴， ，

∴在中，，

∴.