Question

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点P作PO⊥BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段OA、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC=6，DF=2AD，求⊙O的半径及和线段PE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）通过△OAP≌△OBP，证明∠OAP=∠OBP=90°，即可解决问题．
（2）通过射影定理即可解决问题．
（3）首先由射影定理求出⊙O的半径，进而由射影定理求出OP的长度，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接OB；
∵PB为⊙O的切线，
∴OB⊥PB，即∠OBP=90°；
∵PO⊥BA，
∴DA=DB，即OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB；
在△OAP与△OBP中，

OA=OB OP=OP PA=PB

，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴直线PA为⊙O的切线．
（2）OA²=OD•OP．证明如下：
∵△OAP是直角三角形，AD⊥OP，
∴由射影定理得：OA²=OD•OP．
（3）如图，连接AE；
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，而OD⊥AB，
∴OD∥BC，而OA=OC，
∴AD=BD，OD为△ABC的中位线，
∴OD=

1

2

BC=3；设⊙O的半径为λ，
则DF=λ+3，DE=λ-3；
∵EF为⊙O的直径，
∴∠FAE=90°，
由射影定理得：AD²=FD•DE，
而DF=2AD，
∴DF=4DE，即λ+3=4（λ-3），
解得：λ=5；
由射影定理得：OA²=OD•OP，即5²=3×OP，
∴OP=

25

3

，PE=

25

3

-3=

16

3

．
即⊙O的半径及和线段PE的长分别为：5，

16

3

．

点评：该题主要考查了切线的判定、射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．