Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且，过点O作OE⊥AC于点E⊙O的切线AF交OE的延长线于点F，弦AC、BD的延长线交于点G.

（1）求证：∠F＝∠B；

（2）若AB＝12，BG＝10，求AF的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）根据圆周角定理得到∠GAB＝∠B，根据切线的性质得到∠GAB+∠GAF＝90°，证明∠F＝∠GAB，等量代换即可证明；

（2）连接OG，根据勾股定理求出OG，证明△FAO∽△BOG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

（1）证明：∵，

∴.

∴∠GAB＝∠B，

∵AF是⊙O的切线，

∴AF⊥AO.

∴∠GAB+∠GAF＝90°.

∵OE⊥AC，

∴∠F+∠GAF＝90°.

∴∠F＝∠GAB，

∴∠F＝∠B；

（2）解：连接OG.

∵∠GAB＝∠B，

∴AG＝BG.

∵OA＝OB＝6，

∴OG⊥AB.

∴，

∵∠FAO＝∠BOG＝90°，∠F＝∠B，

∴△FAO∽△BOG，

∴.

∴.