Question

1．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB中点，连接DF、EF，DE、EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，若∠BAC=30°，下列结论：
①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG与△EOG的面积比为1：4．
其中正确的结论的序号是①③④．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质求出∠EAC=60°，AE=AC，求出BC=AF，根据SAS证△ABC≌△EFA，推出FE=AB，∠AEF=∠BAC=30°，求出∠AOE=90°，即可判断③；求出AD=BD，BF=AF，∠DFB=∠EAF，∠BDF=∠AEF，根据AAS证△DBF≌△EFA，即可判断①；得出四边形ADFE为平行四边形，推出AG=$\frac{1}{2}$AF，AG=$\frac{1}{4}$AB，求出AD=AB，推出AD=4AG，即可判断④；求出∠FAE=90°，∠AFE＜90°，推出EF＞AE，即可判断②；根据平行四边形性质得出AG=GF，推出S_三角形AGOS_三角形GOF，设AG=1，则AF=2，AB=4，BC=2，由勾股定理求出AC=2$\sqrt{3}$，求出AO=OC，由勾股定理求出OE=3，得出△GOF和△EGO的面积比是1：3，即可判断⑤．

解答 解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
在△ABC和△EFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠ACB=∠EAF}\\{BC=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EFA（SAS），
∴FE=AB，∠AEF=∠BAC=30°，
∠AOE=180°-30°-60°=90°，
∴EF⊥AC，∴③正确，
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
在△DBF和△EFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠FEA}\\{∠DFB=∠EAF}\\{BF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△EFA（AAS），∴①正确；
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴AG=$\frac{1}{2}$AF，AG=$\frac{1}{4}$AB，
∵AD=AB，
则AD=4AG，∴④正确；
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴AD=EF，
∵∠FAE=90°，∠AFE＜90°，
∴EF＞AE，
即AD＞AE，∴②错误；
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴AG=GF，
∴S_三角形AGO=S_三角形GOF，
设AG=1，则AF=2，AB=4，BC=2，由勾股定理得：AC=2$\sqrt{3}$，
∠CAE=60°，∠AEF=∠CAB=30°，
∴∠COE=30°+60°=90°=∠AOE，
∵AE=CE，
∴AO=OC，
在等边三角形ACE中，AE=AC=2$\sqrt{3}$，AO=OC=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：OE=3，
∵△GOF的边OF和△EGO的边OE上的高相等，
∴△GOF和△EGO的面积比是1：3，
即△AOG与△EOG的面积比为1：3，∴⑤错误；
正确的有①③④，
故答案为：①③④．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，对应三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的面积，相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，平行四边形的性质和判定等知识点的综合运用．