【题目】如图1,在正方形ABCD中,延长BC至M,使BM=DN,连接MN交BD延长线于点E.
(1)求证:BD+2DE=BM.
(2)如图2,连接BN交AD于点F,连接MF交BD于点G.若AF:FD=1:2,且CM=2,则线段DG=_____;
【答案】
(1)
证明:过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∠DBC=∠BDC=45°,
∴PM∥CN,
∴∠N=∠EMP,∠BDC=∠MPB=45°,
∴BM=PM,
∵BM=DN,
∴DN=MP,
在△DEN和△PEM中
,
∴△DEN≌△PEM,
∴DE=EP,
∵△BMP是等腰直角三角形
∴BP=BM
∴BD+2DE=BM.
(2)
解:∵AF:FD=1:2,
∴DF:BC=2:3,
∵△BCN∽△FDN,
∴
设正方形边长为a,又知CM=2,
∴BM=DN=a+2,CN=2a+2
∴,
解得:a=2,
∴DF=,BM=4,BD=,
又∵△DFG∽△BMG,
∴,
∴,
∴DG=.
故答案为:.
【解析】(1)过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P,首先证明△DEN≌△PEM,得到DE=PE,由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM,即可得到结论;
(2)由AF:FD=1:2,可知DF:BC=2:3,由△BCN∽△FDN,可求出BC=2,再由△DFG∽△BMG即可求出DG的长.
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识,掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2,以及对正方形的性质的理解,了解正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
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【题目】如图,在△ABC和△BCD中,AB=DC,AC=DB,AC、DB交于点M.
(1)求证:△ABC≌△DCB;
(2)作CN∥BD,BN∥AC,CN交BN于点N,求证:四边形BNCM是菱形.
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【题目】一食堂需要购买盒子存放食物,盒子有A,B两种型号,单个盒子的容量和价格如表.现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满,由于A型号盒子正做促销活动:购买三个及三个以上可一次性返还现金4元,则购买盒子所需要最少费用为 元.
型号 | A | B |
单个盒子容量(升) | 2 | 3 |
单价(元) | 5 | 6 |
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AB=6,过点O作OH⊥AB交圆于点H,点C是弧AH上异于A、B的动点,过点C作CD⊥OA,CE⊥OH,垂足分别为D、E,过点C的直线交OA的延长线于点G,且∠GCD=∠CED.
(1)求证:GC是⊙O的切线;
(2)求DE的长;
(3)过点C作CF⊥DE于点F,若∠CED=30°,求CF的长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B,在△AOB内部作正方形,使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上,求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标.
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【题目】如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点且∠BOD=60°,过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C,E为的中点,连接DE,EB.
(1)求证:四边形BCDE是平行四边形;
(2)已知图中阴影部分面积为6π,求⊙O的半径r.
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【题目】如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是AB的中点,以E为圆心,ED为半径作半圆,交A、B所在的直线于M、N两点,分别以直径MD、ND为直径作半圆,则阴影部分面积为( )
A.9
B.18
C.36
D.72
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【题目】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中:
①ac<0;
②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=3;
③a+b+c>0;
④当x>1时,y随着x的增大而增大.
正确的说法有 . (请写出所有正确的序号)
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E、F分别在边CD、AB上.
(1)若DE=BF,求证:四边形AFCE是平行四边形;
(2)若四边形AFCE是菱形,求菱形AFCE的周长.
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