Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝60°，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB运动，到点B停止运动．过点E作EF∥BD交AD于点F，将△AEF绕点E顺时针旋转得到△GEH，且点G落在线段EF上，设点E的运动时间为t（秒）（0＜t＜3）．

（1）若t＝1，求△GEH的面积；

（2）若点G在∠ABD的平分线上，求BE的长；

（3）设△GEH与△ABD重叠部分的面积为T，用含t的式子表示T，并直接写出当0＜t＜3时T的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）3；（3）T＝．

【解析】

（1）根据四边形ABCD是矩形和EF∥BD，可推出AE和AF的长，即可求出答案；

（2）由BG平分∠ABD，可得∠EBG＝∠ABD＝30°，再根据∠AEG＝∠EBG+∠EGB＝60°，可得∠EBG＝∠EGB＝30°，即可推出BE的长；

（3）当点H落在BD上时，作EJ⊥BD于J，根据EF∥BD，推出△EBH是等边三角形，从而得出t＝1，再分当0＜t≤1时和当1＜t＜3时两种情况讨论即可．

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵EF∥BD，

∴∠AEF＝60°，

∵AE＝2，

∴AF＝AEtan60°＝，

∴S△EGH＝S△AEF＝AEAF＝×2×＝；

（2）如图2中，

由题意得，BG平分∠ABD，

∴∠EBG＝∠ABD＝30°，

∵∠AEG＝∠EBG+∠EGB＝60°，

∴∠EBG＝∠EGB＝30°，

∴BE＝EG＝AE＝3；

（3）如图1﹣1中，当点H落在BD上时，作EJ⊥BD于J，

∵EF∥BD，

∴∠FEH＝∠EHB＝60°，

∴△EBH是等边三角形，

∴EH＝EB＝EF＝2AE，

∴AE＝2，BE＝4，

∴t＝1，

如图3中，当0＜t≤1时，重叠部分是△EGH，T＝S△AEF＝×2t×2t×＝t2，

如图4中，当1＜t＜3时，重叠部分是四边形MNGE，作EJ⊥BD于J，

在Rt△EBJ中，∵BE＝6﹣2t，∠EBJ＝60°，

∴BJ＝BE＝3﹣t，EJ＝BJ＝3﹣t，

∵△EBM是等边三角形，

∴BJ＝JM＝3﹣t，

∵四边形EGNJ是矩形，

∴EG＝NJ＝2t，

∴MN＝NJ﹣MJ＝3t﹣3，

∴T＝（MN+EG）EJ＝（3t﹣3+2t）（3﹣t）＝t2+9t，

综上所述，T＝．