【题目】如图,在△ABC中,AB=,∠B=45°,∠C=60°.
(1)求BC边上的高线长.
(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数.
②如图3,连结AP,当PF⊥AC时,求AP的长.
【答案】(1)4;(2)①90°;②
【解析】
(1)如图1中,过点A作AD⊥BC于D.解直角三角形求出AD即可.
(2)①证明BE=EP,可得∠EPB=∠B=45°解决问题.
②如图3中,由(1)可知:AC=,证明△AEF∽△ACB,推出,由此求出AF即可解决问题.
解:(1)如图1,过点A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ABD中,==4.
(2)①如图2,∵△AEF≌△PEF,
∴AE=EP.
又∵AE=BE ,
∴BE=EP,
∴∠EPB=∠B=45°,
∴∠AEP=90°.
②如图3,由(1)可知:在Rt△ADC中,.
∵PF⊥AC,
∴∠PFA=90°.
∵△AEF≌△PEF,
∴∠AFE=∠PFE=45°,则∠AFE=∠B.
又∵∠EAF=∠CAB,
∴△EAF∽△CAB,
∴=,即=,
∴AF=,
在Rt△AFP中,AF=PF,则AP==.
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【题目】观察以下等式:
第1个等式:23-22=13+2×1+1;
第2个等式:33-32=23+3×2+22;
第3个等式:43-42=33+4×3+32;
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第4个等式:__________________;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明.
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【题目】“南昌之星”摩天轮,位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园,摩天轮高160m(最高点到地面的距离).如图,点O是摩天轮的圆心,AB是其垂直于地面的直径,小贤在地面点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为45°,测得圆心O的仰角为30°,则摩天轮的半径为_____m.(结果保留根号)
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【题目】在下列正多边形中,是中心,定义:为相应正多边形的基本三角形.如图1,是正三角形的基本三角形;如图2,是正方形的基本三角形;如图3,为正边形…的基本三角形.将基本绕点逆时针旋转角度得.
(1)若线段与线段相交点,则:
图1中的取值范围是________;
图3中的取值范围是________;
(2)在图1中,求证
(3)在图2中,正方形边长为4,,边上的一点旋转后的对应点为,若有最小值时,求出该最小值及此时的长度;
(4)如图3,当时,直接写出的值.
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【题目】某地区山峰的高度每增加1百米,气温大约降低0.6℃.气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.请根据图象解决下列问题:
(1)求高度为5百米时的气温.
(2)求T关于h的函数表达式.
(3)测得山顶的气温为6℃,求该山峰的高度.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=,∠B=45°,∠C=60°.
(1)求BC边上的高线长.
(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数.
②如图3,连结AP,当PF⊥AC时,求AP的长.
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【题目】如图,已知四边形ABCD是边长为6的菱形,且∠BAD=120°,点E,F分别在AB、BC边上,将菱形沿EF折叠,点B正好落在AD边的点G处,若EG⊥AC,则FG的长为( )
A.3B.6C.3D.3
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AB边上的动点,过点D作DE⊥AB交边AC于点E,过点E作EF⊥DE交BC于点F,连接DF.
(1)当AD=4时,求EF的长度;
(2)求△DEF的面积的最大值;
(3)设O为DF的中点,随着点D的运动,则点O的运动路径的长度为______.
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