Question

15．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过原点和x轴正半轴上的点B，顶点A的坐标为（2，-2），直线BC经过点B且平行于y轴，抛物线的对称轴交x轴于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上的一个动点，连接PO，PA，当PO+PA的值最小时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，作射线AO，将∠OAH绕点A顺时针旋转得∠O′AH′（边AO与边AO′对应），当∠O′AH′的一边经过点P时，另一边所在直线与抛物线交于点Q，连接OQ，判断△OAQ的形状（按角分类），并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线过原点，顶点为（2，-2）即可确定抛物线解析式；
（2）先确定点A关于BC的对称点A′，求出直线AA′的解析式，进一步求出与BC的交点即为点P的坐标；
（3）先确定直线AQ的解析式，再联立抛物线求出点Q坐标，分析即可确定三角形形状．

解答 解：（1）根据题意知
$\left\{\begin{array}{l}{0=c}\\{-\frac{b}{2a}=2}\\{-2=4a+2b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x．
（2）作点A关于直线BC的对称点A′，连接PA′，如图1所示．

由对称的特性可知，PA=PA′，
当O、P、A′三点共线时，PO+PA′=OA′最小．
令y=$\frac{1}{2}$x²-2x=0，解得：x₁=0，x₂=4，
∴B点坐标为（4，0），直线BC解析式：x=4．
∵A、A′关于直线BC对称，且A点坐标为（2，-2），
∴A′点坐标为（6，-2）．
又∵O点坐标为（0，0），
∴直线OA′的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x．
∴当O、P、A′三点共线时有$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{x=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．
故当PO+PA的值最小时，点P的坐标为（4，-$\frac{4}{3}$）．
（3）如图2，

当射线AH′经过点P时，求得射线AO'与 x轴交点K的坐标为（3，0），
设直线AK：y=mx+n，
把点A（2，-2），K（3，0）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-2=2m+n}\\{0=3m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴直线AK：y=2x-6，
联立：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-6}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$，
解得：x=6，或x=2（舍去）
此时y=6，
所以点Q（6，6），
直线AK交 抛物线于点Q，其坐标为（6，6），
可求∠QOB=45°，∠BOA=45°，
易证∠QOA=90°，所以△QOA为直角三角形； 
当射线AO'经过点P时，△QOA为钝角三角形．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式以及与直线的交点，会求对称点解决线段和最短问题；会运用旋转解决相关问题，判断三角形形状是解题的关键．