Question

【题目】如图，⊙O是△ABC外接圆，直径AB=12，∠A=2∠B．

（1）∠A=　 　°，∠B=　 　°；

（2）求BC的长（结果用根号表示）；

（3）连接OC并延长到点P，使CP=OC，连接PA，画出图形，求证：PA是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）∠A=60°，∠B=30°；（2）6；（3）见解析

【解析】分析：(1)、不难看出∠C应该是直角，∠A=2∠B，那么这两个角的度数就容易求得了；(2)、直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有三角的度数，BC的值就能求出了；(3)、此题实际上是证明PA⊥AB，由图我们不难得出△AOC是等边三角形，那么就容易证得△ABC≌△OPA，这样就能求出PA⊥AB了．

详解：（1）∵∠C=90°，∠A=2∠B， ∴∠A=60°，∠B=30°；

（2）∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， 又∵∠B=30°， ∴AC=AB=65．

∴BC==6；

（3）如图，∵OP=2OC=AB， ∵∠BAC=60°，OA=OC， ∴△OAC为等边三角形．

∴∠AOC=60°． 在△ABC和△OPA中，∵AB=OP，∠BAC=∠POA=60°，AC=OA，

∴△ABC≌△OPA． ∴∠OAP=∠ACB=90°． ∴PA是⊙O的切线．