Question

已知反比例函数y=

2

x

和一次函数y=-x+k交于A、B两点，当AB的长度小于

2

时，k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：将y=

2

x

代入y=-x+k，整理得x²-kx+2=0，先由反比例函数y=

2

x

和一次函数y=-x+k有两个不同的交点A、B，得出△=k²-4×2＞0，即k²＞8．再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁=-x₁+k，y₂=-x₂+k，由根与系数的关系得出x₁+x₂=k，x₁•x₂=2，那么（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=k²-8，（y₁-y₂）²=（-x₁+k+x₂-k）²=（x₁-x₂）²=k²-8，于是AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（k²-8），根据AB的长度小于

2

，得到2（k²-8）＜2，即k²＜9，然后解不等式组8＜k²＜9，即可求出k的取值范围．

解答：解：将y=

2

x

代入y=-x+k，得

2

x

=-x+k，
整理，得x²-kx+2=0，
∵反比例函数y=

2

x

和一次函数y=-x+k有两个不同的交点A、B，
∴△=k²-4×2＞0，
∴k²＞8．
设A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），则y₁=-x₁+k，y₂=-x₂+k，
∵x₁+x₂=k，x₁•x₂=2，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=k²-8，
∴（y₁-y₂）²=（-x₁+k+x₂-k）²=（x₁-x₂）²=k²-8，
∴AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（k²-8），
∵AB的长度小于

2

，
∴2（k²-8）＜2，
∴k²＜9，
∴8＜k²＜9，
∴-3＜k＜-2

2

或2

2

＜k＜3．
故答案为-3＜k＜-2

2

或2

2

＜k＜3．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式，解不等式组，综合性较强，难度适中．得出8＜k²＜9是解题的关键．