【题目】如图所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.
①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.
②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)①S=(t-3)2+9(0<t<6)②点R坐标为(3,﹣18)
【解析】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
由题意知点A(0,﹣12),
所以c=﹣12,
又18a+c=0,
,
∵AB∥OC,且AB=6,
∴抛物线的对称轴是,
∴b=﹣4,
所以抛物线的解析式为;
(2)①,(0<t<6)
②当t=3时,S取最大值为9.
这时点P的坐标(3,﹣12),
点Q坐标(6,﹣6)
若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形,有如下三种情况:
(Ⅰ)当点R在BQ的左边,且在PB下方时,点R的坐标(3,﹣18),将(3,﹣18)代入抛物线的解析式中,满足解析式,所以存在,点R的坐标就是(3,﹣18),
(Ⅱ)当点R在BQ的左边,且在PB上方时,点R的坐标(3,﹣6),将(3,﹣6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件.
(Ⅲ)当点R在BQ的右边,且在PB上方时,点R的坐标(9,﹣6),将(9,﹣6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件.
综上所述,点R坐标为(3,﹣18).
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【题目】随着人们生活水平的提高,短途旅行日趋火爆.我市某旅行社推出“辽阳—葫芦岛海滨观光一日游”项目,团队人均报名费用y(元)与团队报名人数x(人)之间的函数关系如图所示,旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元.旅行社收到的团队总报名费用为w(元).
(1)直接写出当x≥20时,y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元,报名旅游的人数是多少?
(3)当一个团队有多少人报名时,旅行社收到的总报名费最多?最多总报名费是多少元?
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【题目】在平面直角坐标系中,如果点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为和谐点.例如点(1,1),(-,-),(-,-),…,都是和谐点.
(1)分别判断函数y=-2x+1和y=x2+1的图象上是否存在和谐点,若存在,求出其和谐点的坐标;
(2)若二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(,),且当0≤x≤m时,函数y=ax2+4x+c-(a≠0)的最小值为-3,最大值为1,求m的取值范围.
(3)直线l:y=kx+2经过和谐点P,与x轴交于点D,与反比例函数G:y=的图象交于M,N两点(点M在点N的左侧),若点P的横坐标为1,且DM+DN<3,请直接写出n的取值范围.
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【题目】甲、乙两家文化用品商场平时以同样价格出售相同的商品.六一期间两家商场都让利酬宾,其中甲商场所有商品一律按8折出售,乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折.
(1)分别写出两家商场购物金额(元)与商品原价(元)的函数解析式;
(2)在如图所示的直角坐标系中画出(1)中函数的图象;
(3)六一期间如何选择这两家商场购物更省钱?
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点(A点在B点右侧),一次函数的图象经过A、C两点,已知.
(1)求该二次函数和一次函数的解析式
(2)连接BC,求△ABC的面积
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【题目】下图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果
下面有三个推断:
①当抛掷次数是100时,计算机记录“正面向上”的次数是47,所以“正面向上”的概率是0.47;
②随着试验次数的增加,“正面向上”的频率总在0.5附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“正面向上”的概率是0.5;
③若再次用计算机模拟此实验,则当抛掷次数为150时,“正面向上”的频率一定是0.45.
其中合理的是
A. ① B. ② C. ①② D. ①③
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【题目】某中学现有在校学生 1250 人,为了解本校学生的课余活动情况,采取随机抽样的方法从阅读、运动、娱乐、其它四个方面调查了若干名学生,并将调查的结果绘制了 如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)本次调査共取了多少名学生?
(2)通过计算补全条形图,并求出扇形统计图中阅读部分圆心角的度数;
(3)请你估计该中学在课余时间参加阅读和其他活动的学生一共有多少名
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【题目】黄岩某校搬迁后,需要增加教师和学生的寝室数量,寝室有三类,分别为单人间(供一个人住宿),双人间(供两个人住宿),四人间(供四个人住宿).因实际需要,单人间的数量在20至30之间(包括20和30),且四人间的数量是双人间的5倍.
(1)若2018年学校寝室数为64个,以后逐年增加,预计2020年寝室数达到121个,求2018至2020年寝室数量的年平均增长率;
(2)若三类不同的寝室的总数为121个,则最多可供多少师生住宿?
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【题目】某校实验课程改革,初三年级设罝了A,B,C,D四门不同的拓展性课程(每位学生只选修其中一门,所有学生都有一门选修课程),学校摸底调査了初三学生的选课意向,并将调查结果绘制成两个不完整的统计图,问该校初三年级共有多少学生?其中要选修B、C课程的各有多少学生?
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