Question

18．如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，E点是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB=1．
（1）求经过点O、A、E三点的抛物线解析式；
（2）点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先确定A和E的坐标，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）根据三角形的面积公式即可求得P的纵坐标，进而求得P的坐标；
（3）分成A是直角顶点，F是直角顶点，Q是直角顶点三种情况进行讨论，确定若构成等腰直角三角形时，Q是否在抛物线上即可．

解答 解：（1）A的坐标是（2，0），E的坐标是（1，2）．
设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{a+b+c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=4}\\{c=0}\end{array}\right.$．
则抛物线的解析式是y=-2x²+4x；
（2）当△OAP的面积是2时，P的纵坐标是2或-2．
当-2x²+4x=2时，解得：x=1，则P的坐标是（1，2）；
当-2x²+4x=-2时，解得：x=1±$\sqrt{2}$，
此时P的坐标是（1+$\sqrt{2}$，-2）或（1-$\sqrt{2}$，-2）；
（3）AF=AB+BF=2+1=3．
OA=2，则A是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；
当F是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；
当Q是直角顶点时，Q到AF的距离是$\frac{1}{2}$AF=$\frac{3}{2}$，若Q存在，则Q的坐标是（2-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），即（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），在抛物线上；
综上，抛物线上存在Q点满足题目要求．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，正确对等腰直角三角形进行讨论是本题的关键．