如图.在矩形ABCD中.AB=6cm.BC=12cm.点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,同时.点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.设运动的时间为ts.试尝试探究下列问题:(1)当t为何值时.△PBQ的面积等于8cm2,(2)求证:四边形PBQD面积为定值,(3)当t为何值时.△PDQ是等腰三角形．写出探索过程,(4)当t为何值时.△PDQ是直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts（0＜t＜6），试尝试探究下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm²；
（2）求证：四边形PBQD面积为定值；
（3）当t为何值时，△PDQ是等腰三角形．写出探索过程；
（4）当t为何值时，△PDQ是直角三角形，只需求出t的值．

分析（1）根据题意表示出AP，BQ，再由AB-AP表示出PB，进而表示出三角形PBQ面积，根据已知面积求t的值即可；
（2）四边形PBOQ面积=矩形ABCD面积-△APD面积-△CQD面积，化简得到结果为常数，即可得证；
（3）分三种情况考虑：当DP=DQ；DP=PQ；DQ=PQ，利用勾股定理求出相应t的值即可；
（4）若△PDQ是直角三角形，分三种情况考虑：当∠PQD=90°时；当∠PDQ=90°时；当∠DPQ=90°时，分别利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果．

解答（1）解：由题意得：AP=t，BQ=2t，则有PB=AB-AP=6-t，
可得△PBQ的面积S=$\frac{1}{2}$PB•BQ=$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=8，
解得：t=2或t=4，
则当t=2或t=4时，△PBQ的面积等于8cm²；
（2）证明：∵S_{四边形PBQD}=6×12-$\frac{1}{2}$•t•12-$\frac{1}{2}$（12-2t）•6=36，
∴四边形PBQD的面积始终等于36，为定值；
（3）解：分三种情况考虑：
当DP=DQ时，由题意得：12²+t²=6²+（12-2t）²，
解得：t₁=8+2$\sqrt{13}$（舍去），t₂=8-2$\sqrt{13}$；
当DP=PQ时，由题意得12²+t²=（6-t）²+（2t）²，
解得：t₁=$\frac{3-3\sqrt{13}}{2}$（舍去），t₂=$\frac{3+3\sqrt{13}}{2}$（舍去）；
当DQ=PQ时，由题意得6²+（12-2t）²=（6-t）²+（2t）²，
解得：t₁=-6$\sqrt{13}$-18（舍去），t₂=6$\sqrt{13}$-18，
综上所述，当t为8-2$\sqrt{13}$或6$\sqrt{13}$-18时，△PDQ是等腰三角形；
（4）若△PDQ是直角三角形，分三种情况考虑：
当∠PQD=90°时，则有PD²=PQ²+DQ²，即12²+t²=（6-t）²+（2t）²+6²+（12-2t）²，
整理得：2t²-15t+18=0，即（2t-3）（t-6）=0，
解得：t=$\frac{3}{2}$或t=6（舍去）；
当∠PDQ=90°时，PQ²=PD²+DQ²，即（6-t）²+（2t）²=12²+t²+6²+（12-2t）²，
整理得：36t=288，
解得：t=8（舍去）；
当∠DPQ=90°时，DQ²=PQ²+PD²，即6²+（12-2t）²=（6-t）²+（2t）²+12²+t²，
整理得：t（t+18）=0，
解得：t=0（舍去）或t=-18（舍去），
综上，当t=$\frac{3}{2}$时，△PDQ是直角三角形．

点评此题属于四边形综合题，涉及的知识有：三角形、四边形的面积，勾股定理，等腰三角形、直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

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