Question

【题目】如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，当直线OC平分∠ACP时，求点P的坐标；

（3）如图2，点G是线段AC的中点，动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，若E、F两点同时出发，运动时间为t秒．则当t为何值时，的面积是的面积的？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当或

【解析】

（1）根据OA、OB的长度求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）设与轴相交于点，先求出C，D的坐标，再求出直线的解析式，联立抛物线的函数表达式得出方程组，解方程组即可得点P的坐标；
（3）先求出t的取值范围，过点作⊥轴于点，用t表示出BM的长度，然后用t表示出EH、HM、EM的长度，分两种情况求出的面积，求出△ABC的面积，根据的面积是的面积的列出关于t的方程，解方程即可求解．

解：（1）∵

∴

把分别代入得：

解得：

∴

（2）如图，设与轴相交于点

∵平分，⊥

∴

∴

把代入得

∴

设直线的解析式为

把分别代入得

解得：

∴

依题意得

解得，

∴

（3）如图，过点作⊥轴于点

∵∥轴

∴∽

∴

∴由

得

点运动到点的时间为秒，

点运动到点的时间为秒

当时，如图

过点作⊥轴于点

依题意得：

∵，

∴

∴

∴

或

∵

的面积是的面积的

∴或=

解得：（舍去）或（舍去）

当时，如图

∴

综上所述，当或时，的面积是的面积的．