Question

如图，已知在矩形ABCD中，AB = a，BC = b，点E是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结BE、CE．

（1）若a = 5，sin∠ACB =，求的长。（3分）

（2）若a = 5，b=10当BE⊥AC时，求出此时AE的长．（4分）

（3）设，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得△ABE与△BCE相似时，求a、b应满足什么条件，并求出此时x的值．（5分）                                                  

             

    

Answer 1

解：（1）① b = 12 ……………………………3分

（2）如图1，∵BE⊥AC

  ∴∠2 + ∠3 = 90⁰

      又∠1 + ∠3 = 90⁰

∴∠1 = ∠2

又∠BAE = ∠ABC = 90⁰

　∴△AEB ∽△BAC  ………………………5分

　　　∴　即　

∴ ………………………………7分

（3）∵点E在线段AD上的任一点，且不与A、D重合，

∴当△ABE与△BCE相似时，则∠BEC = 90⁰

       所以当△BAE ∽△CEB（如图2）

则∠1 = ∠BCE，

   又BC∥AD

      ∴∠2 = ∠BCE

      ∴∠1 = ∠2

      又∠BAE = ∠EDC = 90⁰

      ∴△BAE ∽△EDC 

         ∴  即　

         ∴  …………………………………9分

         即

         当

∵a＞0，b＞0，  ∴

即 时， ……………………11分

      综上所述：当a、b满足条件b = 2a时△BAE ∽△CEB，此时 (或x = a)；

         当a、b满足条件b＞2a时△BAE ∽△CEB，此时