【题目】如图,△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥DF,交AB于点E,连结EG、EF.
(1)求证:BG=CF;
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)BE+CF>EF,证明详见解析
【解析】
(1)先利用ASA判定△BGDCFD,从而得出BG=CF;
(2)利用全等的性质可得GD=FD,再有DE⊥GF,从而得到EG=EF,两边之和大于第三边从而得出BE+CF>EF.
解:(1)∵BG∥AC,
∴∠DBG=∠DCF.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF,
在△BGD与△CFD中,
∵
∴△BGD≌△CFD(ASA).
∴BG=CF.
(2)BE+CF>EF.
∵△BGD≌△CFD,
∴GD=FD,BG=CF.
又∵DE⊥FG,
∴EG=EF(垂直平分线到线段端点的距离相等).
∴在△EBG中,BE+BG>EG,
即BE+CF>EF.
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【题目】如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=40°,求∠BDE的度数.
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【题目】某校组织一项球类对抗赛,在本校随机调查了若干名学生,对他们每人最喜欢的球类运动进行了统计,并绘制如图1、图2所示的条形和扇形统计图.
根据统计图中的信息,解答下列问题:
(1)求本次被调查的学生人数,并补全条形统计图;
(2)若全校有1500名学生,请你估计该校最喜欢篮球运动的学生人数;
(3)根据调查结果,请你为学校即将组织的一项球类比赛提出合理化建议.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点P是BC上的一动点,AP=AQ,∠PAQ=90°,连接CQ.
(1)求证:CQ⊥BC.
(2)△ACQ能否是直角三角形?若能,请直接写出此时点P的位置;若不能,请说明理由.
(3)当点P在BC上什么位置时,△ACQ是等腰三角形?请说明理由.
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【题目】如图,已知 OP 平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是_________.
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【题目】为缓解交通压力,市郊某地正在修建地铁站,拟同步修建地下停车库.如图是停车库坡道入口的设计图,其中MN是水平线,MN∥AD,AD⊥DE,CF⊥AB,垂足分别为D,F,坡道AB的坡度=1:3,AD=9米,点C在DE上,CD=0.5米,CD是限高标志牌的高度(标志牌上写有:限高 米).如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长,则该停车库限高多少米?(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈3.16)
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【题目】如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+KN最小,并求出点K的坐标;
(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(4)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,DA、CB的延长线交于点P,连接AC、BD,BD=BC.
(1)证明:AB平分∠PAC;
(2)若AC是直径,AC=5,BC=4,求DC长.
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【题目】如图,长方形中,,,,,点从点出发(不含点)以的速度沿的方向运动到点停止,点出发后,点才开始从点出发以的速度沿的方向运动到点停止,当点到达点时,点恰好到达点.
(1)当点到达点时,的面积为,求的长;
(2)在(1)的条件下,设点运动时间为,运动过程中的面积为,请用含的式子表示面积,并直接写出的取值范围.
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