Question

【题目】如图，二次函数的图象交轴于两点，并经过点，已知点坐标是，点坐标是．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求函数图象的顶点坐标及点的坐标；

（3）二次函数的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若点存在，求出点的坐标，若点不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）(4,2)，(6,0)

（3）存在，C(4,2)

【解析】

（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；
（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D的坐标；
（3）连接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周长最小，只需CD+CB最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，只需用待定系数法求出直线AB的解析式，就可得到点C的坐标．

（1）把A(2，0)，B(8，6)代入，得

解得

∴二次函数的解析式为

故答案为：

（2）由得二次函数图象的顶点坐标为(4，2)

令y=0，得

解得：x1=2，x2=6，

∴D点的坐标为(6，0)．

故答案为：(4，2)，(6，0)

（3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得△CBD的周长最小．

连接CA，如图，

∵点C在二次函数的对称轴x=4上，

∴xC=4，CA=CD，

∴△CBD的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD，

根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，此时，由于BD是定值，因此△CBD的周长最小．

设直线AB的解析式为y=mx+n，

把A(2，0)、B(8，6)代入y=mx+n，得

解得

∴直线AB的解析式为y=x2

当x=4时，y=42=2，

∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为(4，2)时，△CBD的周长最小．

故答案为：存在，C(4，2)