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【题目】如图,在 RtABC 中,ACB 90 ,点 E AB 中点,经过 A C E 三点的⊙O BC的延长线相交于点 D ,过点 D 的直线交 AB 的延长线于点 F ,且FDB CED

1)求证: DF 为⊙O 的切线;

2)若 AE CD 1,求 DF

3)若 BF mBE ,求sin BAC (用含 m 的代数式表示).

【答案】(1)见解析;(2;(3

【解析】

1)连接AD,由圆周角定理可得到∠CED=CAD,进而证得∠CAD=FDB, ADF=90°,所以得到DF 为⊙O 的切线;

2)先证得AD=BD,再设BC=x,则BD=1+x=AD,根据勾股定理列出解得x=3, AD=4,再求得,再证得∠ADE=F并根据它们的正切值相等列出方程,即可求出DF

3)设BE=a,BF=ma,AE=a,AF=(m+2)a,EF=m+1a,由射影定理可证,再证得∠ADE=BDE=BAC=F,则

1)连接AD

∵∠ACD=90°

∴∠CAD+ADC=90°,AD是直径.

∵∠CED=CAD, CED=FDB,

∴∠CAD=FDB,

∴∠ADC+FDB=90°,即∠ADF=90°

DF 为⊙O 的切线;

(2) ∵∠ACD=90°

AD是直径,

DEAB,

∵点 E AB 中点,

DEAB的中垂线,

AD=BD

BC=x,则BD=1+x=AD,

RtABC中,

RtACD中,

解得(舍去),

AD=4

RtADE中,,

由已知易证∠ADE=F

(3)BE=a,BF=ma,

AE=a,AF=(m+2)a,EF=m+1a

在Rt△ADF中,由射影定理可证

∵∠ADF=90°,DE垂直平分AB, ∠ACD=90°

∴∠ADE=BDE=BAC=F,

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