Question

10．如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．设剪去的正方形的边长为xcm．
（1）要使折成长方体盒子的底面积为48cm²，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）设折成长方体盒子的侧面积为y（cm²），求y关于x的函数关系式，并确定折成长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用原来长方形的长-2正方形的边长）×（原来长方形的宽-2正方形的边长）=48，列出方程即可求解；
（2）同（1）先用x表示出不同侧面的长，然后根据矩形的面积将4个侧面的面积相加，得出关于侧面积和正方形边长的函数式，然后根据函数的性质和自变量的取值范围来得出侧面积的最大值．

解答 解：（1）设正方形的边长为xcm．
则（10-2x）（8-2x）=48，
即x²-9x+8=0，
解得x₁=8（不合题意，舍去），x₂=1．
答：剪去的正方形的边长为1cm．

（2）正方形的边长为xcm，设盒子的侧面积为ycm²，
则y与x的函数关系式为：
y=2（10-2x）x+2（8-2x）x，
即y=-8x²+36x．（0＜x＜4）
改写为y=-8（x-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{81}{2}$，
∴当x=2.25时，y最大=40.5．
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm²．

点评 此题考查二次函数的应用，一元二次方程的实际运用，根据矩形面积的计算方法正确列出方程与二次函数是解题的关键．