Question

【题目】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B、C两点的直线为y=﹣x+3．

（1）求该二次函数的关系式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以点C、P、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=﹣x+3经过B、C两点，

∴B（3，0），C（0，3），

∵二次函数y=x2+bx+c图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，

∴ 解得 ，

∴二次函数解析式为y=x2﹣4x+3

（2）

解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴该抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为P（2，﹣1），

∴如图1所示，满足条件的点M分别为

M1（2，7），M2（2，2 ﹣1），M3（2， ），M4（2，﹣2 ﹣1）

（3）

解：由（1）（2）得A（1，0），BP= ，BC=3 ，AB=2，

如图2所示，连接BP，∠CBA=∠ABP=45°，

① = 时，△ABC∽△PBQ1，

此时， = ，

∴BQ1=3，

∴Q1（0，0）．

②当 = 时，△ABC∽△Q2BP，

此时， = ，

∴BQ2= ，

∴Q2（ ，0），

综上所述，存在点Q使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点Q坐标（0，0）或（ ，0）．

【解析】（1）先求出B、C坐标，代入抛物线解析式解方程组即可解决问题．（2）分三种情形讨论即可①CM=CP，②PM=PC，③MP=MC，画出图形即可解决问题．（3）分两种情形讨论即可① = 时，△ABC∽△PBQ1 ， 列出方程即可解决．②当 = 时，△ABC∽△Q2BP，列出方程即可解决．