【题目】已知线段MN=8,C是线段MN上一动点,在MN的同侧分别作等边△CMD和等边△CNE.
(1)如图①,连接DN与EM,两条线段相交于点H,求证ME=DN,并求∠DHM的度数;
(2)如图②,过点D、E分别作线段MN的垂线,垂足分别为F、G,问:在点C运动过程中,DF+EG的长度是否为定值,如果是,请求出这个定值,如果不是请说明理由;
(3)当点C由点M移到点N时,点H移到的路径长度为(直接写出结果)
【答案】
(1)
证明:∵△CMD与△CNE是等边三角形,
∴CM=CD,EC=NC,∠DCM=∠ECN=60°,
∴∠DCN=∠MCE=120°,
在△MCE与△DCN中, ,
∴△MCE≌△DCN,
∴ME=DN,∠CME=∠CDN,
∵∠1=∠2,
∴180°﹣∠CME﹣∠1=180°﹣∠CDN﹣∠2,
∴∠DHM=∠DCM=60°;
(2)
解:DF+EG为定值,
理由:设MF=FC=x,则CG=NG=4﹣x,
∴DF= x,EG= (4﹣x),
∴DF+GE= x+ (4﹣x)=4 ;
(3)
【解析】(3)解:如图③,当点C由点M移到点N时,点H移到的路径即为 ,
∵∠MHD=60°,
∴∠MHN=120°,
∴∠MPN=60°,
∴∠MON=120°,
∵MN=8,
∴OM=ON= ,
∴点H移到的路径长度= = ,
所以答案是: .
【考点精析】根据题目的已知条件,利用三角形的内角和外角和等边三角形的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°.
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【题目】解下列方程:
(1)2(10﹣0.5y)=﹣(1.5y+2)
(2)(x﹣5)=3﹣(x﹣5)
(3)﹣1=
(4)x﹣(x﹣9)=[x+(x﹣9)]
(5) -=0.5x+2
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【题目】如图 AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.
(1)求证AD=AE;
(2)连接OA,BC,试判断直线OA,BC的关系并说明理由.
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【题目】如图,直线SN⊥直线WE,垂足是点O,射线ON表示正北方向,射线OE表示正东方向.已知射线OB的方向是南偏东m°,射线OC的方向是北偏东n°,且m°的角与n°的角互余.
(1)写出图中与∠BOE互余的角: .
(2)若射线OA是∠BON的角平分线,探索∠BOS与∠AOC的数量关系.
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【题目】已知,如图,A、B、C分别为数轴上的三点,A点对应的数为60,B点在A点的左侧,并且与A点的距离为30,C点在B点左侧,C点到A点距离是B点到A点距离的4倍.
(1)求出数轴上B点对应的数及AC的距离.
(2)点P从A点出发,以3单位/秒的速度向终点C运动,运动时间为t秒.
①当P点在AB之间运动时,则BP= .(用含t的代数式表示)
②P点自A点向C点运动过程中,何时P,A,B三点中其中一个点是另外两个点的中点?求出相应的时间t.
③当P点运动到B点时,另一点Q以5单位/秒的速度从A点出发,也向C点运动,点Q到达C点后立即原速返回到A点,那么Q点在往返过程中与P点相遇几次?直.接.写.出.相遇时P点在数轴上对应的数
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【题目】阅读理解填空,并在括号内填注理由.
如图,已知AB∥CD,M,N分别交AB,CD于点E,F,∠1=∠2,求证:EP∥FQ.
证明:∵AB∥CD( )
∴∠MEB=∠MFD( ).
又∵∠1=∠2( )
∠MEB﹣∠1=∠MFD﹣∠2( )
即:∠MEP=∠
EP∥ .( )
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【题目】已知AD∥BC,AB∥CD,E在线段BC延长线上,AE平分∠BAD.连接DE,若∠ADE=3∠CDE,∠AED=60°.
(1)求证:∠ABC=∠ADC;
(2)求∠CDE的度数.
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【题目】课堂上学习了勾股定理后,知道“勾三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生观察:3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;…,学生发现这些勾股 数的勾都是奇数,且从 3 起就没有间断过,于是王老师提出以下问题让学生解决.
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:11、________、________;
(2)若第一个数用字母a(a为奇数,且a≥3)表示,那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示?小明发现每组第二个数有这样的规律4=,12=,24=……,于是他很快表示了第二数为 ,则用含a的代数式表示第三个数为________;
(3)用所学知识证明你的结论.
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