Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想

图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，∠MPN的度数是　 　；

（2）探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝8，请直接写出△PMN面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）PM＝PN，60°；（2）详见解析；（3）≤S△PMN≤9．

【解析】

（1）利用三角形的中位线得出PM=CE,PN=BD,进而判断出BD=CE,即可得出结论,再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论；

（2）先判断出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同（1）的方法得出PM=BD,PN=BD,即可得出PM=PN,同（1）的方法即可得出结论；

（3）先判断出BD最大时,△PMN的面积最大,而BD最大是AB+AD=12,再判断出BD最小时,△PMN最小,即可得出结论．

解：（1）∵点P,N是BC,CD的中点,

∴PN∥BD,PN＝BD,

∵点P,M是CD,DE的中点,

∴PM∥CE,PM＝CE,

∵AB＝AC,AD＝AE,

∴BD＝CE,

∴PM＝PN,

∵PN∥BD,

∴∠DPN＝∠ADC,

∵PM∥CE,

∴∠DPM＝∠DCA,

∵∠BAC＝120°,

∴∠ADC+∠ACD＝60°,

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝60°,

故答案为：PM＝PN,60°；

（2）△PMN是等腰直角三角形．

由旋转知,∠BAD＝∠CAE,

∵AB＝AC,AD＝AE,

∴△ABD≌△ACE（SAS）,

∴∠ABD＝∠ACE,BD＝CE,

利用三角形的中位线得,PN＝BD,PM＝CE,

∴PM＝PN,

∴△PMN是等腰三角形,

同（1）的方法得,PM∥CE,

∴∠DPM＝∠DCE,

同（1）的方法得,PN∥BD,

∴∠PNC＝∠DBC,

∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC,

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC

＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC

＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC,

∵∠BAC＝120°,

∴∠ACB+∠ABC＝60°,

∴∠MPN＝60°,

∴△PMN是等边三角形；

（3）由（2）知,△PMN是等边三角形,PM＝PN＝BD,

∴PM最大时,△PMN面积最大,PM最小时,△PMN面积最小

∴点D在BA的延长线上,△PMN的面积最大,

∴BD＝AB+AD＝12,

∴PM＝6,

∴S△PMN最大＝PM2＝×62＝9,

当点D在线段AB上时,△PMN的面积最小,

∴BD＝AB﹣AD＝4,

∴PM＝2,

S△PMN最小＝PM2＝×22＝,

∴≤S△PMN≤9．