Question

【题目】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．

（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，证明：DE＝DF

（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．DE＝DF仍然成立吗？说明理由．

（3）如图3，将∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，DE＝DF仍然成立吗？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）结论仍然成立.，DE＝DF，见解析；（3）仍然成立，DE＝DF，见解析

【解析】

（1）由题意根据全等三角形的性质与判定，结合等边三角形性质证明△BED≌△CFD（ASA），即可证得DE＝DF；

（2）根据题意先取AC中点G,连接DG,继而再全等三角形的性质与判定，结合等边三角形性质证明△EDG≌△FDC（ASA），进而证得DE＝DF；

（3）由题意过点D作DN⊥AC于N,DM⊥AB于M, 继而再全等三角形的性质与判定，结合等边三角形性质证明△DME≌△DNF（ASA），即可证得DE＝DF．

解：（1）∵AB=AC，∠A=60°，

∴△ABC是等边三角形,即∠B=∠C=60°,

∵D是BC的中点,

∴BD=CD,

∵∠EDF=120°，DF⊥AC，

∴∠FDC=30°,

∴∠EDB=30°，

∴△BED≌△CFD（ASA）,

∴DE=DF.

（2）取AC中点G,连接DG,如下图,

∵D为BC的中点,

∴DG=AC=BD=CD,

∴△BDG是等边三角形,

∴∠GDE+∠EDB=60°,

∵∠EDF=120°,

∴∠FDC+∠EDB=60°,

∴∠EDG=∠FDC,

∴△EDG≌△FDC（ASA）,

∴DE=DF，

∴结论仍然成立.

（3）如下图,过点D作DN⊥AC于N,DM⊥AB于M,

∴∠DME=∠DNF=90°,

由（1）可知∠B=∠C=60°,

∴∠NDC=∠BDM=30°,DM=DN,

∴∠MDN=120°,即∠NDF=∠MDE,

∴△DME≌△DNF（ASA）,

∴DE=DF,

∴仍然成立.