Question

【题目】小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2m和3m的同心圆（如图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判．

（1）你认为游戏公平吗？为什么？

（2）游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算某一不规则图形的面积呢”．请你设计方案，解决这一问题．（要求补充完整图形，说明设计步骤、原理，写出估算公式）

Answer 1

【答案】（1）不公平，理由详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）分别计算出阴影部分面积和非阴影部分面积，小红胜的概率=S阴影÷S总，小明胜的概率=S非阴影÷S总，则比较阴影部分和小圆面积即可知道是否公平；（2）用一正方形将不规则图形包围起来，根据用频率估计概率来设计.

解：（1）不公平，理由：

根据几何概率的求法：掷中阴影小红胜的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值；小明胜的概率为小圆面积与总面积的比值，

而计算可得大圆面积为9π，小圆面积为4π．则阴影部分面积为5π，

则阴影部分面积比小圆面积大．

则小红胜的概率大于小明胜的概率，

所以该游戏是不公平的，对小红有利；

（2）能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积.

设计方案：①设计一个面积为S的正方形将非规则图形围起来，如图：

②蒙上眼在一定距离外向正方形内掷小石子,掷在正方形外不作记录；

③掷的次数充分大，记录并统计结果，其中掷入正方形内m次，n次掷非规则图形内；

④设非规则图形的面积为S1，用频率估计概率，即频率P（掷入非规则图形内）=≈概率P（掷入非规则图形内）=,解得S1≈.