Question

【题目】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N.

（1）证明：BD＝CE；

（2）证明：BD⊥CE．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）要证明BD＝CE，只要证明△ABD≌△ACE即可，两三角形中，已知的条件有AD＝AE，AB＝AC，那么只要再得出两对应边的夹角相等即可得出三角形全等的结论.我们发现∠BAD和∠EAC都是90°加上一个

∠CAD，因此∠CAE＝∠BAD.由此构成了两三角形全等中的（SAS）因此两三角形全等.

（2）要证BD⊥CE，只要证明∠BMC是个直角就行了.由（1）得出的全等三角形我们可知：

∠ABN＝∠ACE，三角形ABC中，∠ABN+∠CBN+∠BCN＝90°，根据上面的相等角，我们可得出∠ACE+∠CBN+∠BCN＝90°，即∠ABN+∠ACE＝90°，因此∠BMC就是直角.

证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°

∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD

即∠CAE＝∠BAD

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD＝CE

（2）∵△ABD≌△ACE

∴∠ABN＝∠ACE

∵∠ANB＝∠CND

∴∠ABN+∠ANB＝∠CND+∠NCE＝90°

∴∠CMN＝90°

即BD⊥CE.