Question

在正方形ABCD中，G是BC上一点，DE⊥AG于点E，连接EC，若AG=

5

BG，求

GC

EC

的值．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,正方形的性质

专题：

分析：根据同角的余角相等求出∠BAG=∠ADE，然后利用两组角对应相等，两三角形相似求出△ABG和△DAE相似，设BG=x，AG=

5

x，利用勾股定理列式求出AB，再根据相似三角形对应边成比例求出AE，再求出EG，过点E作EF⊥BC于F，利用相似三角形对应边成比例求出EF、FG，然后求出CF，利用勾股定理列式表示出EC，然后求出比值即可．

解答：解：∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∵∠BAG+∠DAE=90°，
∴∠BAG=∠ADE，
又∵∠B=∠AED=90°，
∴△ABG∽△DAE，
设BG=x，AG=

5

x，
由勾股定理得，AD=AB=

( 5 x)2-x2

=2x，
则

BG

AE

=

AG

AD

，
即

x

AE

=

5 x

2x

，
解得AE=

2 5

5

x，
所以，EG=

5

x-

2 5

5

x=

3 5

5

x，
过点E作EF⊥BC于F，则△ABG∽△EFG，
∴

EF

AB

=

FG

BG

=

EG

AG

，
即

EF

2x

=

FG

x

=

3 5 x 5

5 x

=

3

5

，
解得EF=

6

5

x，FG=

3

5

x，
所以，GC=2x-x=x，
CF=x+

3

5

x=

8

5

x，
由勾股定理得，EC=

EF2+CF2

=

( 6 5 x)2+( 8 5 x)2

=2x，
所以，

GC

EC

=

x

2x

=

1

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．