Question

【题目】阅读下列材料，完成相应学习任务：

四点共圆的条件

我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：

已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°．

求证：过点A、B、C、D可作一个圆．

证明：如图（1），假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆外，设AD与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180°，而已知∠B+∠D=180°，所以∠AEC=∠D，而∠AEC是△CED的外角，∠AEC＞∠D，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上．

如图（2）假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆内，设AD的延长线与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180°，而已知∠B+∠ADC=180°，所以∠AEC=∠ADC，而∠ADC是△CED的外角，∠ADC＞∠AEC，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上．

因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．

学习任务：

（1）材料中划线部分结论的依据是　 　．

（2）证明过程中主要体现了下列哪种数学思想：　 　（填字母代号即可）

A、函数思想 B、方程思想 C、数形结合思想 D、分类讨论思想

（3）如图（3），在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=16°．AD=BD，则求∠ADB的大小．

Answer 1

【答案】（1）圆的内接四边形对角互补（2）D；（3）∠ADB=32°

【解析】试题分析：（1）材料中划线部分结论的依据圆的内接四边形对角互补；

（2）证明过程中分点D在圆外或圆内两种情形讨论，主要体现了分类讨论的数学思想；

（3）利用“对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆”这个结论，结合同弧所对的圆周角相等以及等腰三角形的性质，即可解决问题．

试题解析：

解：（1）材料中划线部分结论的依据圆的内接四边形对角互补，

故答案为圆的内接四边形对角互补；

（2）证明过程中主要体现了分类讨论的数学思想，分点D在圆外或圆内两种情形讨论．

故答案为D；

（3）解：∵∠ABC＋∠ADC＝180°，

∴过四边形ABCD的四个顶点能作一个圆（如图所示），

∴∠CBD＝∠CAD＝16°，

∴∠ABD＝74°，

又∵AD＝BD，

∴∠BAD＝∠ABD＝74°，

∴∠ADB＝32°．