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【题目】(1)如图①,已知:RtABC中,AB=AC,直线m经过点ABDmDCEmE,求证:DE=BD+CE

(2)如图②,将(1)中的条件改为:△ABC中,AB=AC,并且∠BDA=AEC=BAC=αα为任意锐角或钝角,请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请证明;若不成立,请说明理由;

(3)应用:如图③,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB=AC,∠BAD>∠CAE,∠BDA=AEC=BAC,直线mBC的延长线交于点F,若BC=2CF,△ABC的面积是12,求△ABD与△CEF的面积之和.

【答案】(1)见解析; (2) 结论DE=BD+CE成立,理由见解析; (3)6

【解析】

1)根据BD⊥直线mCE⊥直线m得∠BDA=CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=ABD,由AAS证得△ADB≌△CEA,则AE=BDAD=CE,即可得出结论;
2)由∠BDA=BAC=α,则∠DBA+BAD=BAD+CAE=180°-α,得出∠CAE=ABD,由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案;
3)由∠BAD>∠CAE,∠BDA=AEC=BAC,∴∠CAE=ABD,得出∠CAE=ABD,由AAS证得△ADB≌△CEA,得出SABD=SCEA,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比,得出SACF即可得出结果.

(1)证明:∵BD⊥直线mCE⊥直线m

∴∠BDA=CEA=90°

∵∠BAC=90°

∴∠BAD+CAE=90°

∵∠BAD+ABD=90°

∴∠CAE=ABD

在△ADB和△CEA中,

∴△ADB≌△CEA(AAS)

AE=BDAD=CE

DE=AE+AD=BD+CE

(2) 结论DE=BD+CE成立;理由如下:

∵∠BDA=BAC=α

∴∠DBA+BAD=BAD+CAE=180°-α

∴∠CAE=ABD

在△ADB和△CEA中,

∴△ADB≌△CEA(AAS)

AE=BDAD=CE

DE=AE+AD=BD+CE

(3) ∵∠BAD>CAE,∠BDA=AEC=BAC

∴∠CAE=ABD

在△ABD和△CEA中,

∴△ABD≌△CEA(AAS)

SABD=SCEA

设△ABC的底边BC上的高为h,则△ACF的底边CF上的高为h

SABC= BCh=12SACF= CFh

BC=2CF

SACF=6

SACF=SCEF+SCEA=SCEF+SABD=6

∴△ABD△CEF的面积之和为6

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4×5×6×7+1=292=(42+3×4+1)2

……

(1)根据你的观察,归纳发现规律,写出9×10×11×12+1的结果是________

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