【题目】已知矩形中,,动点从点出发,以2cm/s的速度沿向终点匀速运动,连接,以为直径作⊙分别交于点,连接.设运动时间为s .
(1)如图①,若点为的中点,求证:;
(2)如图②,若⊙与相切于点,求的值;
(3)若是以为腰的等腰三角形,求的值.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)2.5或4.
【解析】
(1)由已知证明,推出BC=BP;(2)连接OH,过点O作OM⊥AD于M.由四边形ABCD是矩形,可证°,可得OM∥AB,可证可得,OM=AB=3;由AP=2t,可得MP=AM=2t,MD=10-t,可证四边形OMDH是矩形,可得OH=OP=MD=10-t,根据勾股定理可知:在中,,即可求出t的值;(3)分两种情况讨论,当AE=BE时,则由四边形PABE内接于⊙,可得,
可推,故PB=BC=10,根据勾股定理在中,AP=,可得2t=8,t=4;若AB=AE,可证可得AP=PD=5,
即2t=5,解得t=2.5;
(1)证明:∵BP为⊙直径,
∴°;
∵点E为的中点,
∴,
∴,
在
∴,
∴BC=BP;
(2)连接OH,过点O作OM⊥AD于M.
∵四边形ABCD是矩形,
∴°;
∵OM⊥AD,AB⊥AD,
∴OM∥AB;
∴,,
∴OM=AB=3;
∵AP=2t,
∴MP=AM=2t,MD=10-t,
∵⊙与相切于点,
∴°,
∴四边形OMDH是矩形,
∴OH=OP=MD=10-t,
在中,,
解得t=;
(3)若AE=BE,则
∵四边形PABE内接于⊙,
∴,
∵AD∥BC,
∴,
∴,
∴PB=BC=10,
在中,AP=,
∴2t=8,t=4;
若AB=AE,
则,
同理可得,
∴;
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD;
在
∴
∴AP=PD=5,
即2t=5,解得t=2.5;
综上所述,t的值为2.5或4.
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【题目】求二次函数的图象如图所示,其对称轴为直线,与轴的交点为、,其中,有下列结论:①;②;③;④;⑤;其中,正确的结论有( )
A.5B.4C.3D.2
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=4,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,△ABC在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别为A(0,4),B(2,2),C(4,6)(正方形网格中,每个小正方形的边长均为1).
(1)画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1,并写出点B1的坐标;
(2)以点O为位似中心,在第三象限内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且相似比为1:2,直接写出点C2的坐标.
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【题目】如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C、D.
(1)求证AC=BD;
(2)若AC=3,大圆和小圆的半径分别为6和4,则CD的长度是 .
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,且BE=BC.
(1)EC平分∠BED吗?证明你的结论.
(2)若AB=1,∠ABE=45°,求BC的长.
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=72°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△BDE(点D与点 A是对应点,点E与点C是对应点),且边DE恰好经过点C,则∠ABD的度数为
A. 36° B. 40° C. 45° D. 50°
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【题目】如图,已知二次函数,它与轴交于、,且、位于原点两侧,与的正半轴交于,顶点在轴右侧的直线:上,则下列说法:① ② ③ ④其中正确的结论有( )
A.①②B.②③C.②③④D.①②③④
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