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【题目】已知矩形中,,动点点出发,以2cm/s的速度沿向终点匀速运动,连接,以为直径作⊙分别交于点,连接.设运动时间为s .

(1)如图①,若点的中点,求证:;

(2)如图②,若⊙相切于点,求的值;

(3)是以为腰的等腰三角形,求的值.

【答案】1)详见解析;(2;(32.54.

【解析】

(1)由已知证明,推出BC=BP;(2)连接OH,过点OOMADM.由四边形ABCD是矩形,可证°,可得OM∥AB,可证可得,OM=AB=3;由AP=2t,可得MP=AM=2t,MD=10-t,可证四边形OMDH是矩形,可得OH=OP=MD=10-t,根据勾股定理可知:在中,,即可求出t的值;(3)分两种情况讨论,当AE=BE时,则由四边形PABE内接于⊙,可得

可推,故PB=BC=10,根据勾股定理在中,AP=,可得2t=8t=4;若AB=AE,可证可得AP=PD=5,

即2t=5,解得t=2.5;

1)证明:∵BP为⊙直径,

°;

∵点E为的中点,

∴BC=BP;

(2)连接OH,过点OOMADM.

∵四边形ABCD是矩形,

°;

∵OM⊥AD,AB⊥AD,

∴OM∥AB;

∴OM=AB=3;

∵AP=2t,

∴MP=AM=2t,MD=10-t,

∵⊙相切于点

°,

∴四边形OMDH是矩形,

∴OH=OP=MD=10-t,

中,

解得t=

(3)若AE=BE,则

∵四边形PABE内接于⊙

ADBC

PB=BC=10

中,AP=

2t=8t=4

若AB=AE,

同理可得

∵四边形ABCD是矩形,

∴AB=CD;

∴AP=PD=5,

即2t=5,解得t=2.5;

综上所述,t的值为2.5或4.

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